·26. 高等数学疑难解析 =222”.2-2”-2当 =四2±m2°-2+吗2-2-2 -81n -四2±2-2，g2-”-2 tanx sinx =[(2+x)0]'10+[(2+x)]'l。=10×2 四、习题 （一)A类 1.设fx)在x=处可导，求 九+)-名-3x 2已知1=2.0)1，求f0) 3.已知)在￥=0处连续，且四过：-2，求f"(0)。 4.设 rx+2, x<-2 fx)={0, 2 ln(x+3),x>-2 求f(-2)。 5.设 f(x)= lo. x=0 证明：(x)在x=0处连续、可导，导函数f'(x)在x=0处连续，但∫'(x)在x=0处不 可导。 （二)B类 1.设(0)=0，则f(x)在点x=0处可导的充要条件为： (1)四1-cosh)存在： (2)1四方1-e)存在： (3)1im/2h)-fh)]存在 2已知)在=e处可号，且@)>0，求回o+】 f(a) 3.设
第三讲导数与微分的概念 ·27 x )=+。 x≠0 0, x=0 讨论f:(0),f(0)及f'(0)的存在性。 4.已知 - x<1 试确定a,b和c使f(x)在x=1处二阶可导
第四讲导数与微分法则 一、内容提要 (一)基本初等函数求导公式 (1)(c)'=0(c为常数)： (2)(x)=1; (3)(sinx)'=cosx (4)(cosx)'=-sinx (5)(tanx)'=sccx (6)(cotx)'=-c8c2x: (7)(secx)'=secxtanx; (8)(cscx)'=-escxcotx (9)(a)'=alna; (10)(e)'=e; ()(og,x)'=na' (2)x)y=: 1 (13)(aresint)'=- (14)(arccosx)'=- (15)(arctan)'=1+7: 】 (16)(arccotx)'=-+ 1 (二)和、差、积、商求导法则 (1)(u±彩)=u'±v'; (2)(w)'=u'e+uw'; (3)(cu)'=c'(c为常数)； (4)(）.(≠0 (三)复合函数求导法则 设y=f(u)与“=p(x)都可导，则复合函数y=f几(x)]也可导，而且有 是出出 -fwe'a) (四)反函数求导法则 设y=f(x)为x=p(y)的反函数，且p'(y)≠0，则 f'(x)=(y 1 (五)参数方程确定函数的求导法则 设，由参数方程(：8份确定，则 盘8
第四讲导数与微分法则 ·29· 二阶导数公式为 盖-=g8-8准 g8,0-0e000 (六)高阶导数公式 )y=忠=() 2-竖= (B)(u0=u0+am-g+D,-w+.+mw+。w=Cn-, 21 (七)函数的微分法则 设y=f(u)与u=(x)都可微分，则复合函数y=爪(x)]也可微分，而且有 dy =f'(u)du =f'(u)'(x)dx (八)微分近似计算的公式 当Ax=x-很小时，有 △y=f八+△x)-f八)=f'(x)Ax f(x。+△x)sf代x)+f'(xo)△x fx)=f）+f(n)(x-x) 二、重点、难点 重点：复合函数的导数， 难点：隐函数的导数，参数方程确定的函数的导数。 三、典型方法与例题 (一)A类（基本要求） 1.复合函数求导数 【例1】设y=2m片，求y。 y=(24)'=24.2·(sin2） =24.l2×2sin(sn) =24.lm2×2 sin co士·(H)》 =2.l2x2 2sinc士· =-之24.l2sin2 【例2】设y=ln(cos2x+√1+cos需)，求业
·30. 高等数学疑难解析 解：设u=cos2x,得y=ln(u+√+)，从而 袅鼎出.++出 ",a+产a-2awim) 1 品器 【例3】设y=x+a”+a,求y。 解： y'=(a)'+(a)'+(a)' =a·x+alna.(x）'+a.lna(a') =a°x1+ax1·a".Ina a'·a°.ln2a 【例4】设f'(cosx)=cos2x,求f"(x)。 解：由于 f'(c0sx)=c092x=2co92x-1 得f"(x)=2x2-1,因此得 ∫"(x)=4x,lx≤1 2.反函数的导数 【例1】设：=ln+-子，其中a>0,求忠 解：由于 步=a[n(a+va-)-lj水， 川高引，与 -y 2 得 止平 dy 3.隐函数求导法 【例】.设y=()由方程y-。产=iy确定，求出。 解：对方程xy-e=siy两边关于x求导数，注意到y是x的函数，得 2y+忠-2og=coy出 解出业，得 dr cosy2e 2xy