第三章函数 作为变化着的量的一般性质及它们之间依赖关系的反映，在数学中产生了变量和函数 的概念，而数学对象的这种根本扩展就决定了向数学的新阶段一变量数学的过液。 一A.亚历山大罗夫 从本质上讲， 一般性至多是个真假参半的优点。如果未经核对并且缺乏实质 那么它 就有可能成为非常有害的特性。但我并不提倡废除一般性。一般化和抽象是数学之最重要的 功能。正是由于一般化和抽象，数学才能如此异乎寻常地有效。但我也确信，之所以有这种 异乎寻常的有效性，主要地是因为许多一般化和抽象的出发点深深地扎根于自然的。 -Mark Kac 之比，等于它们高度之比的平方根。”“两个侧面积相等的正圆柱，其体积之比等于它们高度 第一节函数概念的演变 函数是高等数学中的一个基本概念，是高等数学的主要研究对象，柯朗和鲁宾斯在《数 学是什么》一书中指出：“近代数学的主体是以函数和极限的概念为中心。”函数概念不仅在 纯粹数学中占有重要地位，而且在实际应用中也是极其重要的 考察函数概念的发展历史及 其演变过程，无疑有助于人们更深刻、更全面地理解函数的本质，并从中获得有益的方法轮 启示。 1.函数概念的产生 马克思认为，函数概念来源于代数中不定方程的研究。而不定方程在罗马时代就已经开 始了，那时，杰出的数学家丢番图(Diophantu ,约246一330)对不定方程已有相当程度的 研究，据此可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。实际上，作为变量和函数的素朴概念 几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称 为函数关系的那种从属关系。只不过在很长一段时间内，数学是不研究运动和变化的。亚里 士多德认为，数学的研究对象是静止的东西。是事物的不变的属性。受到亚里士多德这一观 占的影，数学家是不关心，事物的云动和变化的。14世纪0 年代前后数学家开始研究“即 现在所说的“质的强度”。所谓“质”，指的是具有某种强度的性质，如 、密度、速度等 并且得到了一些结果。在法国数学家奥雷姆(0 resme,1323-1382)的著作中不仅有一般 加速度的概念，而且还有特殊的匀加速度的概念。他认为，如果加速度是均匀的，则速度是 均匀的非均匀变化的：如果加速度是非均匀的，则速度是非均匀的非均匀变化的。在他的若 作中，其核心思想是用图形来表示一个可变量的值，这个量依赖于另一个量。这可以说是函 数概念及函数图示法的萌芽。 但是，真正导致函数得以迅速发展则是在16世纪以后，特别 是由于微积分的建立，伴随着一学科的产生、发展和完善。函数也经历了产生、发展和完善 的演变过程。 自哥白尼的天文学革命以后，运动成为文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，到了 16世纪，对于运动的研究已变成自然科学的中心问题。实践的需要和各门科学的自身发展。 使自然科学转向对运动的研究，转向对各种变化过程和各种变化若的量的依赖关系的研究 这一时期，函数概念在不同数学家那里有着不同的形式的描述。在伽利略(Gle0)的（两 门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数思想，它用文字和比例的语言表述函数关系。 例如，在它关于材料力学的作品中，他有时说：“两个等体积圆柱体的面积（底面积除外） 之比的反比。”在他关于运动的作品中，他又说：“从静止状态开始以定常加速度下降的物体
第三章 函 数 作为变化着的量的一般性质及它们之间依赖关系的反映，在数学中产生了变量和函数 的概念，而数学对象的这种根本扩展就决定了向数学的新阶段—变量数学的过渡。 —A.亚历山大罗夫 从本质上讲，一般性至多是个真假参半的优点 。如果未经核对并且缺乏实质 ，那么它 就有可能成为非常有害的特性。但我并不提倡废除一般性。一般化和抽象是数学之最重要的 功能。正是由于一般化和抽象，数学才能如此异乎寻常地有效。但我也确信，之所以有这种 异乎寻常的有效性，主要地是因为许多一般化和抽象的出发点深深地扎根于自然的。 —Mark Kac 之比，等于它们高度之比的平方根。”“两个侧面积相等的正圆柱，其体积之比等于它们高度 第一节 函数概念的演变 函数是高等数学中的一个基本概念，是高等数学的主要研究对象。柯朗和鲁宾斯在《数 学是什么》一书中指出：“近代数学的主体是以函数和极限的概念为中心。”函数概念不仅在 纯粹数学中占有重要地位，而且在实际应用中也是极其重要的。考察函数概念的发展历史及 其演变过程，无疑有助于人们更深刻、更全面地理解函数的本质，并从中获得有益的方法轮 启示。 1. 函数概念的产生 马克思认为，函数概念来源于代数中不定方程的研究。而不定方程在罗马时代就已经开 始了，那时，杰出的数学家丢番图（Diophantus，约 246—330）对不定方程已有相当程度的 研究，据此可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。实际上，作为变量和函数的素朴概念， 几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称 为函数关系的那种从属关系。只不过在很长一段时间内，数学是不研究运动和变化的。亚里 士多德认为，数学的研究对象是静止的东西，是事物的不变的属性。受到亚里士多德这一观 点的影响，数学家是不关心事物的运动和变化的。14 世纪 40 年代前后数学家开始研究 “即 现在所说的“质的强度”。所谓“质”，指的是具有某种强度的性质，如热、密度、速度等， 并且得到了一些结果。在法国数学家奥雷姆（Oresme，1323—1382）的著作中不仅有一般 加速度的概念，而且还有特殊的匀加速度的概念。他认为，如果加速度是均匀的，则速度是 均匀的非均匀变化的；如果加速度是非均匀的，则速度是非均匀的非均匀变化的。在他的著 作中，其核心思想是用图形来表示一个可变量的值，这个量依赖于另一个量。这可以说是函 数概念及函数图示法的萌芽。但是，真正导致函数得以迅速发展则是在 16 世纪以后，特别 是由于微积分的建立，伴随着一学科的产生、发展和完善。函数也经历了产生、发展和完善 的演变过程。 自哥白尼的天文学革命以后，运动成为文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，到了 16 世纪，对于运动的研究已变成自然科学的中心问题。实践的需要和各门科学的自身发展， 使自然科学转向对运动的研究，转向对各种变化过程和各种变化着的量的依赖关系的研究。 这一时期，函数概念在不同数学家那里有着不同的形式的描述。在伽利略（Galileo）的《两 门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数思想，它用文字和比例的语言表述函数关系。 例如，在它关于材料力学的作品中，他有时说：“两个等体积圆柱体的面积（底面积除外） 之比的反比。”在他关于运动的作品中，他又说：“从静止状态开始以定常加速度下降的物体
其经过的距离与所用时间的平方成正比。”这些描述非常清楚的表明伽利略己涉及并讨论变 量和函数，但他并没有作出一般的抽象，并且也没有把文字叙述表示为符号形式。 几乎与此同时， 许多数学家如托里拆利(Torrice 个利 1703入、笛卡尔(Descartes1596一1650)、入牛顿、莱布尼茨等从不同角度对函数进行了不 同程度的研究。有的数学家把一些具体的函数看成曲线进行研究，尽管当时还没有建立实连 续的概念，但数学家却默认曲线都是连续的。托里拆利就曾对曲线y=ac(x≥0)进行过 研究：法国数学家罗贝瓦尔(Roberval1604一1675)在研究旋轮线时，把正弦曲线引进数学 而沃利嘶在他的《力学》中也研究过正弦曲线，并注意到了这一函数的周期性 。总的来识 当时关于对数曲线和指数曲线的研究比较普遍。解析几何产生前后，人们除了已认识的代数 曲线外，还确定了相当多的超越曲线。笛卡尔在其著作中提到了几何曲线与机械曲线的区别， 并由此引出代数曲线（函数）与超越曲线（函数）的区别。 到了17世纪，牛领在创立微积分的过程中， 赖关系 并且从运动的角度把曲线 一直用流量”问来表示变量之间的 是动点的轨迹。 他在《 求曲边形的面积》 中识 “我认为这里的数学量，不是由小块合成的，而是由连续运动描出的。线（曲线）是描画出 来的，它的产生不是由于凑零为整，而是由于点的连续运动.。这样的起源，真正发生在 事物的本性中，并且是日常从物体的运动中看见的.”格雷果里(Gregory.James1638一1675) 在他的论文《论圆和双曲线求积》中，给出函数概念的素朴描述，他定义函数是从一些其他 的量经过一系列代数运算而得到的量，或者是经过任何其他可以想象到的运算而得到的量 据他自己解释，这里的“可以想象到的运算”，除了加、减、乘、除和开方外，还有极限运 算。格雷果里给出的函数的解析定义，由于此后不久就证明这一定义太狭窄，也就逐渐被人 们所遗忘。 “函数”作为数学术语是由微积分的另一位创立者莱布尼茨于1673年引讲的，他用“承 数”一词表示任意 个随者曲线上的点变动的量，并指出：“象曲线上点的横坐标、纵坐标 切线的长度、垂线的长度等，所有与曲线上的点有关的量称为函数。”除此以外，他还引过 了“常量”、“变量”和“参变量”等概念，这些一直沿用到现在。这个定义仅是在几何范围 内揭示某些量之间所存在的依赖关系，并无给出函数的解析定义，因此，莱布尼茨所给出的 函数的定义可看成是函数概念的几何起源。 总之，到了17世纪，人们还没有从普遍意义上对函数这一概念的本质认识清楚。 2.函数概念的发展阶段 正如所知，微积分是一门研究变量和函数的科学。尽管牛顿和莱布尼茨创立了微积分 但由于他们对包括函数在内的一些基本概念，特别是对微积分赖以建立的基础一无穷小量的 认识不清，出现了运算过程中的逻辑矛盾，从而促使了数学家进一步探索微积分可靠的理论 基础，在这艰苦的探索过程中，函数自然也就成为数学家重点研究的对象 第一个在莱布尼茨工作的基础上作出函数概念推广的是约翰伯努.利(( 1667一1748)，他指出：“在这里， 一个变量的函数是指由这个变量和常数以任意一种方式构 成的量。”在符号方面，约翰·伯努利利用X或5表示一般的x的函数，但到了1718年，他 又改为中，。约翰·伯努利在函数概念中所说的任意方式包括代数式子和超越式子。 18世纪数学界的中心人物欧拉首先以函数的概念以及研究函数的无限过程建立一个与 几何学和代数学相独立存在的分支一分析学，他在《无穷小分析引论》（以下简称《引论》） 中，他第一次把函数放到了中心地位，认为函数概念在微积分中起者重要而又明确的作用， 微积分是关于函数的理论。欧拉把函数而不是把曲线作为主要研究对象的，他第一个把对数
其经过的距离与所用时间的平方成正比。”这些描述非常清楚的表明伽利略已涉及并讨论变 量和函数，但他并没有作出一般的抽象，并且也没有把文字叙述表示为符号形式。 几乎与此同时，许多数学家如托里拆利（Torricelli 1608—1647）、沃利斯（Wallis 1616 —1703）、笛卡尔（Descartes 1596—1650）、牛顿、莱布尼茨等从不同角度对函数进行了不 同程度的研究。有的数学家把一些具体的函数看成曲线进行研究，尽管当时还没有建立实连 续的概念，但数学家却默认曲线都是连续的。托里拆利就曾对曲线 ( 0) cx y ae x − = 进行过 研究；法国数学家罗贝瓦尔（Roberval 1604—1675）在研究旋轮线时，把正弦曲线引进数学。 而沃利斯在他的《力学》中也研究过正弦曲线，并注意到了这一函数的周期性。总的来说， 当时关于对数曲线和指数曲线的研究比较普遍。解析几何产生前后，人们除了已认识的代数 曲线外，还确定了相当多的超越曲线。笛卡尔在其著作中提到了几何曲线与机械曲线的区别， 并由此引出代数曲线（函数）与超越曲线（函数）的区别。 到了 17 世纪，牛顿在创立微积分的过程中，一直用“流量”一词来表示变量之间的依 赖关系，并且从运动的角度把曲线看成是动点的轨迹。他在《求曲边形的面积》一书中说： “我认为这里的数学量，不是由小块合成的，而是由连续运动描出的。线（曲线）是描画出 来的，它的产生不是由于凑零为整，而是由于点的连续运动.。这样的起源，真正发生在 事物的本性中，并且是日常从物体的运动中看见的。”格雷果里（Gregory,James 1638—1675） 在他的论文《论圆和双曲线求积》中，给出函数概念的素朴描述，他定义函数是从一些其他 的量经过一系列代数运算而得到的量，或者是经过任何其他可以想象到的运算而得到的量。 据他自己解释，这里的“可以想象到的运算”，除了加、减、乘、除和开方外，还有极限运 算。格雷果里给出的函数的解析定义，由于此后不久就证明这一定义太狭窄，也就逐渐被人 们所遗忘。 “函数”作为数学术语是由微积分的另一位创立者莱布尼茨于 1673 年引进的，他用“函 数”一词表示任意一个随着曲线上的点变动的量，并指出：“象曲线上点的横坐标、纵坐标、 切线的长度、垂线的长度等，所有与曲线上的点有关的量称为函数。”除此以外，他还引进 了“常量”、“变量”和“参变量”等概念，这些一直沿用到现在。这个定义仅是在几何范围 内揭示某些量之间所存在的依赖关系，并无给出函数的解析定义，因此，莱布尼茨所给出的 函数的定义可看成是函数概念的几何起源。 总之，到了 17 世纪，人们还没有从普遍意义上对函数这一概念的本质认识清楚。 2．函数概念的发展阶段 正如所知，微积分是一门研究变量和函数的科学。尽管牛顿和莱布尼茨创立了微积分， 但由于他们对包括函数在内的一些基本概念，特别是对微积分赖以建立的基础—无穷小量的 认识不清，出现了运算过程中的逻辑矛盾，从而促使了数学家进一步探索微积分可靠的理论 基础，在这艰苦的探索过程中，函数自然也就成为数学家重点研究的对象。 第一个在莱布尼茨工作的基础上作出函数概念推广的是约翰•伯努利。（Bernoulli,Johann 1667—1748），他指出：“在这里，一个变量的函数是指由这个变量和常数以任意一种方式构 成的量。”在符号方面，约翰•伯努利利用 X 或 表示一般的 x 的函数，但到了 1718 年，他 又改为 x 。约翰•伯努利在函数概念中所说的任意方式包括代数式子和超越式子。 18 世纪数学界的中心人物欧拉首先以函数的概念以及研究函数的无限过程建立一个与 几何学和代数学相独立存在的分支—分析学，他在《无穷小分析引论》（以下简称《引论》） 中，他第一次把函数放到了中心地位，认为函数概念在微积分中起着重要而又明确的作用， 微积分是关于函数的理论。欧拉把函数而不是把曲线作为主要研究对象的，他第一个把对数
函数作为指数函数、把三角函数作为数值之比而不是作为一些线段进行系统论述的，指出了 显函数与隐函数、单值函数与多值函数 一元函数与多元函数之间的区别，并且引进了现在 使用的函数符号f(x)。欧拉把约翰·伯努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它 区分为代数函数与超越函数，同时指出前者只有自变量间的代数运算，后者指三角函数、对 数函数、指数函数以及变量的无理数幂所表示的函数。在《引论》中，欧拉把指数函数与对 数函数分别定义为： e'-lim(+ Inx=lim n(x"-1). 他还详细地讨论了指数函数、对数函数以及三角函数的展开式，并搞清了三角函数的周期性， 引入了三角函数的符号和角弧度。除了上述讨论的各种函数外，欧拉还考虑了“表示任意地 画出的曲线的函数”，并称之为“随意函数”众所周知，连续函数所表示的曲线y=x)与 y轴平行的两直线及x轴围成的图形的面积S(x),可用f(x)的定积分广f(I)d来表示， 但S(x)却未必只由x和常数经过算术、三角、对数和指数运算而得到的函数来表示。从而 函数概念件随微积分的研究得到进一步发展。不难看出，欧拉给出的函数的定义比约翰伯 努利给出的函数的定义更普遍、更具有广泛意义。欧拉给出的定义是： 一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。 除此之外，欧拉还规定一个给定的函数在它的整个定义域内是由同样一个解析表达式来 描术的，这种观占在数学家拉格朗(1 h Louis1737-1813)的著作中也有所 体现，如在他的名著《解析函数论》中，他把函数定义为在其 可以按任何形式出现的并对 计算有用的表达式。他在《函数计算教程》中说：“函数代表着要得到未知量的值而对已为 量要完成的那些不同运算，未知量的值本质上只是计算的最终结果。也就是说，函数是运算 的一个组合。”尽管后来由于欧拉、达朗贝尔(D'Alembert Jean Le Rond1717一1783)和丹 尼尔·伯努利(Be oulli daniel1700一1782)在偏微分方程的研究中发现了整多 曲线并不能用一个方程表示的实例，并迫使数学家修正函数的概念，但在18世纪甚至到 9世纪初，函数由 解析式给出的观点仍然占据统治地位，并认为连续曲线表示的连丝 函数一定能由一个解析表达式表示，由不连续函数或折线所表示的函数不可能由一个解析式 表示。 由于受到多项式函数的影响，即若对于n+1个x的值，多项式 anx+a-1x+.+a,x+a与bx”+bn-x+.+hx+b 都相等，则这两个多项式相等。人们普遍认为，对区间[a,b)]上的一切x值，恒有相同函数 值的两个函数是完全相同的，而对「☑，b]以外的x值，这两个函数的值也相同。 与此类似，由于受到三角函数的特性的影响，许多数学家认为，只有周期性的曲线才能 用周期函数来表示。在这一时期，既没有得到任何广泛采用的定义，也没有解决什么样的函 数可用三角函数米表示，所有这些表明，函数的概念还有待于继续发展。 1800年前后，数学家开始关心分析的严格化问题，函数概念自然也就成为严格化的对 象。具体地表现在两个方面：一方面对原来有关函数的错误看法和片面的观点进行澄清纠正：
函数作为指数函数、把三角函数作为数值之比而不是作为一些线段进行系统论述的，指出了 显函数与隐函数、单值函数与多值函数、一元函数与多元函数之间的区别，并且引进了现在 使用的函数符号 f x( ) 。欧拉把约翰•伯努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它 区分为代数函数与超越函数，同时指出前者只有自变量间的代数运算，后者指三角函数、对 数函数、指数函数以及变量的无理数幂所表示的函数。在《引论》中，欧拉把指数函数与对 数函数分别定义为： lim(1 ) x n n x e → n = + ， 1 ln lim ( 1) n n x n x → = − 。 他还详细地讨论了指数函数、对数函数以及三角函数的展开式，并搞清了三角函数的周期性， 引入了三角函数的符号和角弧度。除了上述讨论的各种函数外，欧拉还考虑了“表示任意地 画出的曲线的函数”，并称之为“随意函数”。众所周知，连续函数所表示的曲线 y f x = ( ) 与 y 轴平行的两直线及 x 轴围成的图形的面积 S x( ) ，可用 f x( ) 的定积分 ( ) x a f t dt 来表示， 但 S x( ) 却未必只由 x 和常数经过算术、三角、对数和指数运算而得到的函数来表示。从而 函数概念伴随微积分的研究得到进一步发展。不难看出，欧拉给出的函数的定义比约翰•伯 努利给出的函数的定义更普遍、更具有广泛意义。欧拉给出的定义是： 一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。 除此之外，欧拉还规定一个给定的函数在它的整个定义域内是由同样一个解析表达式来 描述的，这种观点在数学家拉格朗日（Lagrange,Joseph Louis 1737—1813）的著作中也有所 体现，如在他的名著《解析函数论》中，他把函数定义为在其中可以按任何形式出现的并对 计算有用的表达式。他在《函数计算教程》中说：“函数代表着要得到未知量的值而对已知 量要完成的那些不同运算，未知量的值本质上只是计算的最终结果。也就是说，函数是运算 的一个组合。”尽管后来由于欧拉、达朗贝尔（D´Alembert,Jean Le Rond 1717—1783 ）和丹 尼尔·伯努利（Bernoulli,Daniel１７００—１７８２ ）在偏微分方程的研究中发现了整条 曲线并不能用一个方程表示的实例，并迫使数学家修正函数的概念，但在１８世纪甚至到了 １９世纪初，函数由一个解析式给出的观点仍然占据统治地位，并认为连续曲线表示的连续 函数一定能由一个解析表达式表示，由不连续函数或折线所表示的函数不可能由一个解析式 表示。 由于受到多项式函数的影响，即若对于 n+1 个 x 的值，多项式 1 1 n n n n a x a x − + + − . 1 0 + + a x a 与 1 1 n n n n b x b x − + + − . 1 0 + + b x b 都相等，则这两个多项式相等。人们普遍认为，对区间 [ , ] a b 上的一切 x 值，恒有相同函数 值的两个函数是完全相同的，而对 [ , ] a b 以外的 x 值，这两个函数的值也相同。 与此类似，由于受到三角函数的特性的影响，许多数学家认为，只有周期性的曲线才能 用周期函数来表示。在这一时期，既没有得到任何广泛采用的定义，也没有解决什么样的函 数可用三角函数来表示，所有这些表明，函数的概念还有待于继续发展。 1800 年前后，数学家开始关心分析的严格化问题，函数概念自然也就成为严格化的对 象。具体地表现在两个方面：一方面对原来有关函数的错误看法和片面的观点进行澄清纠正；
另一方面继续探讨函数概念的本质，建立更为广泛的函数概念。第一个冲破用解析式给出函 数的观点的是拉克鲁瓦(Sylvestre-Francois Lacroix1765-1843),他在1797年给出的 函数的定义是 个量，如果它依赖一个或几个别的量，不管人们知道不知道用何种必要的运算可以 得到前者，就称前者为这个或这些量的函数。 拉克鲁瓦还以五次方程的根是系数的函数为例给出相应的说明，这无疑对函数的概念又 作出一次扩展。 在这一时期 展做出了E大责献 里叶(F te Joseph1768一1830)对函数概念的发 尽管傅里叶也支持解析式给出函数的观点，但他更深刻地揭示了函数的 本质。他在1807年发表的题为《热的分析理论》一文中，证明了“由不连续的曲线给出的 函数，能用一个三角函数式来表示。”通过实例分析，使里叶指出不连续函数可用一个解析 式来表示，或者可用多个式子来表示，这就否定了“不连续函数不可能用一个解析式来表示” 的观点。傅里叶还通过实例指出：“在某一区间上恒有相同函数值的两个函数是完全相同的。 这一观点的错误，根据傅里叶的研究，不仅周期函数，而且任意连续函数f(x)在一-π<X<π 的范围内都可用正弦函数、余弦函数这样的周期函数来表示，甚至不能用解析式给出的函数 都可用三角级数来表示，这个观点非常重要，它动摇了18世纪关于分段连续函数的观点。 柯西(A.L Cauch1789 一1857)干1821年分别给出了变量和函数的定义，指出“人 们把依次取许多互不相同的值的量叫做变量。”“当变量之间这样联系起来的时候，即给定了 这些变量中的一个值，就可以决定所有其它变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中 的一个来表示的，这时这个量就取名为自变量，而由这个自变量表示的其它的量就叫做这个 自变量的函数。”按照此定义，不管y是用一个式子还是用多个式子表示，只要对每个x的 值，有完全确定的y值与它对应，y就是x的函数。柯西当时非常请楚无穷级数是规定函 数的一种方法，但函数未必受到解析式的约束，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式 来表示，这显然 个很大的限制 突破这一限制的是杰出数学家狄利克雷(Dirichlet1805一I859),他给出的函数定义是： 若对x的每一个值，有完全确定的y值与之对应，不管建立起的这种对应方式如何，都 称v是x的函数 由这个定义不难看出，秋利克雷是用对应的观点给出函数定义的，至于自变量之间的联 系方式如何，即是按照一种或多种规律依赖于x,是否可用数学运算表示，这是无关紧县 的。并且他还构造一个以他自己名字命名的函数： a,x为有理数 f(x)= a,b为不同的常数。 b.x为无理数 上述对应的思想是数学开始由过去研究的“算”到以后研究“观念、性质和结构”转变 的标志，具有重要的理论意义。 随后的罗巴切夫斯基和黎曼等数学家分别给出了函数的定义。例如，黎曼于1951年给 出这样一个定义： 我们假定：是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值。若对它的每个值，都有未定 量w的唯一的一个值与之对应，则称”为2的图 黎曼指出，这个 个的函数值之间存在一种规律，此时如果函数在 某个区间已有定义，他在该区间外的延拓方式完全是任意的，人们所定义的量w对量：的 依赖关系是任意给定的或是由量的某种运算所确定并没有什么差异。 总之，从18世纪前后开始，经过许多数学家的不断探索和研究，函数概念有了长足的
另一方面继续探讨函数概念的本质，建立更为广泛的函数概念。第一个冲破用解析式给出函 数的观点的是拉克鲁瓦（Sylvestre—Francois Lacroix 1765—1843），他在 1797 年给出的 函数的定义是： 每一个量，如果它依赖一个或几个别的量，不管人们知道不知道用何种必要的运算可以 得到前者，就称前者为这个或这些量的函数。 拉克鲁瓦还以五次方程的根是系数的函数为例给出相应的说明，这无疑对函数的概念又 作出一次扩展。 在这一时期，傅里叶（Fourier,Jean Baptiste Joseph 1768—1830）对函数概念的发 展做出了巨大贡献。尽管傅里叶也支持解析式给出函数的观点，但他更深刻地揭示了函数的 本质。他在 1807 年发表的题为《热的分析理论》一文中，证明了“由不连续的曲线给出的 函数，能用一个三角函数式来表示。”通过实例分析，傅里叶指出不连续函数可用一个解析 式来表示，或者可用多个式子来表示，这就否定了“不连续函数不可能用一个解析式来表示” 的观点。傅里叶还通过实例指出:“在某一区间上恒有相同函数值的两个函数是完全相同的。” 这一观点的错误，根据傅里叶的研究，不仅周期函数，而且任意连续函数 f x( ) 在 − x 的范围内都可用正弦函数、余弦函数这样的周期函数来表示，甚至不能用解析式给出的函数 都可用三角级数来表示，这个观点非常重要，它动摇了 18 世纪关于分段连续函数的观点。 柯西（A.L.Cauch, 1789——1857）于 1821 年分别给出了变量和函数的定义，指出“人 们把依次取许多互不相同的值的量叫做变量。”“当变量之间这样联系起来的时候，即给定了 这些变量中的一个值，就可以决定所有其它变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中 的一个来表示的，这时这个量就取名为自变量，而由这个自变量表示的其它的量就叫做这个 自变量的函数。”按照此定义，不管 y 是用一个式子还是用多个式子表示，只要对每个 x 的 值，有完全确定的 y 值与它对应， y 就是 x 的函数。柯西当时非常清楚无穷级数是规定函 数的一种方法，但函数未必受到解析式的约束，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式 来表示，这显然是一个很大的限制。 突破这一限制的是杰出数学家狄利克雷(Dirichlet 1805—1859)，他给出的函数定义是： 若对 x 的每一个值，有完全确定的 y 值与之对应，不管建立起的这种对应方式如何，都 称 y 是 x 的函数。 由这个定义不难看出，狄利克雷是用对应的观点给出函数定义的，至于自变量之间的联 系方式如何，即 y 是按照一种或多种规律依赖于 x ，是否可用数学运算表示，这是无关紧要 的。并且他还构造一个以他自己名字命名的函数： , ( ) , a x f x b x = 为有理数， 为无理数， ab, 为不同的常数。 上述对应的思想是数学开始由过去研究的“算”到以后研究“观念、性质和结构” 转变 的标志，具有重要的理论意义。 随后的罗巴切夫斯基和黎曼等数学家分别给出了函数的定义。例如，黎曼于 1951 年给 出这样一个定义： 我们假定 z 是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值。若对它的每个值，都有未定 量 w 的唯一的一个值与之对应，则称 w 为 z 的函数。 黎曼指出，这个定义完全没有规定在单个的函数值之间存在一种规律，此时如果函数在 某个区间已有定义，他在该区间外的延拓方式完全是任意的，人们所定义的量 w 对量 z 的 依赖关系是任意给定的或是由量的某种运算所确定并没有什么差异。 总之，从 18 世纪前后开始，经过许多数学家的不断探索和研究，函数概念有了长足的
发展。但至少到19世纪前半期，关于函数概念的叙述仍是不一致的，比如，当时一些最好 的教科书，有的沿用18世纪函数解析式的定义，有的利用近似黎曼的定义等等。因此，函 数概念仍需进 步元香 3.函数概念的完善阶段 在分析严格化的过程中，集合论的思想逐渐形成，皮亚诺(Peano,Giuseppel858一1932) 发表了《无穷悖论》，标志他第一个朝若建立集合明确理论的方向迈出积极步伐的人。后来 的康托尔对集合的概念、性质以及集合与集合之间的关系进行了一系列系统的研究，从而建 起具有 大意义的集合 论基础。康托尔认为，所谓集 确定的不同的东西的总 这些东西人们能意识到，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。无疑，集合的概念 比人们以前研究的各类特殊的数集更具有一般意义，从而就有若广泛的应用性。尽管集合论 的产生受到许多数学家的指责和攻击，仍有许多数学家利用集合思想解决了许多问题，建立 了许多新的概念，函数概念也正是在集合概念的基础上得到最终完善。 戴德金于1887年给出了这样 个定义 系统S上的一个映射蕴含了一种规则，按照这种规则，S中的每一个确定的元素都对 应者一个确定的对象，它称为s的映像，记作(s),我们可以说，p(s)对应于元素5，中(s) 由映射中作用于s而产生或导出，s经映射Φ变换成①(5) 美国数学家维不伦(Veblen,0.1880 1960)利用集合思想首次定义了变量和常量 他规定：所谓变量是代表某集合中的任意一个“元素”的记号，他可以是数，也可以不是数， 变量x所代表的“元素的集合”叫做变量的变域，常量是特殊的变量。他给出的函数的定义 在变量y的集合与另一个变量x的集合之间，如果存在若对于x的每一个值，y有确定 的值与之对应这样的关系，那么，变量叫做变量x的函数。上术定义中的x和v可以是数， 也可以是点：可以是有形的东西，也可以是无形的东西，并且这些元素可以是连续的，也可 以是离散的，因此，变量和函数的这个定义是极其广泛的。 布尔巴基学派则给出了较完善的现代函数的定义： 设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同。E中的每一变元x和F中的变元 y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对每一个x∈E,都存在唯一的y∈F,它满 足与x给定的关系，我们称这样的运算为函数。它以上述方式将与x有给定关系的元素y∈ F与每一个元素x∈E相联系，我们称y是函数在元素x处的值，函数由给定关系所确定， 两个等价的函数关系确定同一个函数 现代数学的各分支中的函数定义大都是根据这 一定义简化而成的 从函数概念的历史演变过程不难看出，在不同历史时期，数学家对函数的研究体现出不 同的特点。在17世纪，数学家是从几何直观上来研究函数的，即把函数看成曲线去分析函 数的相关性质，这一时期人们所接触的函数大都是一些特殊的函数。从18世纪一直到19 世纪，数学家主要研究函数关系的结构，探讨了函数的解析定义。进入19世纪中期，特别 是集合论创立以后 ,数学家从对应观点出发给出了函数的 般定义 其次，函数概念的形成过程是 “个从特殊到一般认识过程。约翰·伯务利给出的函数定 义可以认为是函数概念的第一次扩充。 函数概念的第二次扩充应归功于欧拉，在当时，几何曲线可以分为三种，第一种是能够 用语言或等式表示其本质的曲线：第二种是无法用语言或等式表示其本质的曲线：由两条以
发展。但至少到 19 世纪前半期，关于函数概念的叙述仍是不一致的，比如，当时一些最好 的教科书，有的沿用 18 世纪函数解析式的定义，有的利用近似黎曼的定义等等。因此，函 数概念仍需进一步完善。 3．函数概念的完善阶段 在分析严格化的过程中，集合论的思想逐渐形成。皮亚诺（Peano,Giuseppe1858—1932） 发表了《无穷悖论》，标志他第一个朝着建立集合明确理论的方向迈出积极步伐的人。后来 的康托尔对集合的概念、性质以及集合与集合之间的关系进行了一系列系统的研究，从而建 立起具有重大意义的集合论基础。康托尔认为，所谓集合就是一些确定的不同的东西的总体， 这些东西人们能意识到，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。无疑，集合的概念 比人们以前研究的各类特殊的数集更具有一般意义，从而就有着广泛的应用性。尽管集合论 的产生受到许多数学家的指责和攻击，仍有许多数学家利用集合思想解决了许多问题，建立 了许多新的概念，函数概念也正是在集合概念的基础上得到最终完善。 戴德金于 1887 年给出了这样一个定义： 系统 S 上的一个映射蕴含了一种规则，按照这种规则， S 中的每一个确定的元素都对 应着一个确定的对象，它称为 s 的映像，记作 ( )s ，我们可以说， ( )s 对应于元素 s ，( )s 由映射 作用于 s 而产生或导出， s 经映射 变换成 ( )s 。 美国数学家维不伦（Veblen,O.1880——1960）利用集合思想首次定义了变量和常量， 他规定：所谓变量是代表某集合中的任意一个“元素”的记号，他可以是数，也可以不是数， 变量 x 所代表的“元素的集合”叫做变量的变域，常量是特殊的变量。他给出的函数的定义 是： 在变量 y 的集合与另一个变量 x 的集合之间，如果存在着对于 x 的每一个值， y 有确定 的值与之对应这样的关系，那么，变量 y 叫做变量 x 的函数。上述定义中的 x 和 y 可以是数， 也可以是点；可以是有形的东西，也可以是无形的东西，并且这些元素可以是连续的，也可 以是离散的，因此，变量和函数的这个定义是极其广泛的。 布尔巴基学派则给出了较完善的现代函数的定义： 设 E 和 F 是两个集合，它们可以不同，也可以相同。 E 中的每一变元 x 和 F 中的变元 y 之间的一个关系称为一个函数关系，如果对每一个 x E ，都存在唯一的 y F ，它满 足与 x 给定的关系，我们称这样的运算为函数。它以上述方式将与 x 有给定关系的元素 y F 与每一个元素 x E 相联系，我们称 y 是函数在元素 x 处的值，函数由给定关系所确定， 两个等价的函数关系确定同一个函数。 现代数学的各分支中的函数定义大都是根据这一定义简化而成的。 从函数概念的历史演变过程不难看出，在不同历史时期，数学家对函数的研究体现出不 同的特点。在 17 世纪，数学家是从几何直观上来研究函数的，即把函数看成曲线去分析函 数的相关性质，这一时期人们所接触的函数大都是一些特殊的函数。从 18 世纪一直到 19 世纪，数学家主要研究函数关系的结构，探讨了函数的解析定义。进入 19 世纪中期，特别 是集合论创立以后，数学家从对应观点出发给出了函数的一般定义。 其次，函数概念的形成过程是一个从特殊到一般认识过程。约翰·伯努利给出的函数定 义可以认为是函数概念的第一次扩充。 函数概念的第二次扩充应归功于欧拉，在当时，几何曲线可以分为三种，第一种是能够 用语言或等式表示其本质的曲线；第二种是无法用语言或等式表示其本质的曲线；由两条以