《高等数学》课程教学资源（疑难解答）导数与微分

第二章导数与微分 1.导数定义的演变 函数)在点6的导数定义了)=四+-化 h 可以演化为如下命题： 命题1设函数f(x)在点x,可导，且1imo(x)=0(0(x)≠0)，则 lim). (x) 利用该命题很容易得到另一个命题： 命题2设函数)在点x可导，且1m)=0()≠0)，m=A,则 g(x) 飞+)=r g(x) 2.导数存在与切线存在的关系。 根据导数的几何意义，若∫()存在，则曲线y=f(x)在点(x,(x》处的切线存在： 反之不一定成立。例如，曲线y=x在点(0,0)的切线存在，且切线为x=0,即y轴。但 扇数在该点的导数超不存在，事实上m一回作四=0，而 1 x-0 f'(0)不存在 3.∫(x),f,f'(x)以及∫(x)=之间的区别与联系。 f(x)是函数y=f(x)在点x处的导数值，表示的是函数在点x=x。的变化率，即因 变量y随自变量x的变化而变化的快慢程度：[f(x)川是常数函数f(x)的导数，其导数为 0:∫'(x)则是函数y=f(x)在某一区间I内的导函数，一般情况下，它是随x的变化而变 化的：若y=f(x)在区间I内可导，且x是区间I内的点，则f"(x)=就是函数y=f(x) 在点x处的导数值f'(x)。 4.(x)与f'(x)的区别与联系。首先，二者的意义不同，(x)表示函数f(x)在点x

第二章 导数与微分 1．导数定义的演变 函数 f x( ) 在点 0 x 的导数定义 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) limh f x h f x f x → h + −  = 可以演化为如下命题： 命题 1 设函数 f x( ) 在点 0 x 可导，且 0 lim ( ) 0( ( ) 0) x x   x x → =  ，则 0 0 0 0 [ ( )] ( ) lim ( ) ( ) x x f x x f x f x x  →  + − =  。 利用该命题很容易得到另一个命题： 命题 2 设函数 f x( ) 在点 0 x 可导，且 0 lim ( ) 0( ( ) 0) x x   x x → =  ， 0 ( ) lim ( ) x x x A g x  → = ，则 0 0 0 0 [ ( )] ( ) lim ( ) ( ) x x f x x f x Af x g x  → + − =  。 2．导数存在与切线存在的关系。 根据导数的几何意义，若 0 f x ( ) 存在，则曲线 y f x = ( ) 在点 0 0 ( , ( )) x f x 处的切线存在； 反之不一定成立。例如，曲线 3 y x = 在点 (0,0) 的切线存在，且切线为 x = 0 ，即 y 轴。但 函数在该点的导数却不存在，事实上 3 0 0 0 3 2 ( ) (0) 1 lim lim lim x x x 0 f x f x x x x → → → − = = =  − ，所以 f (0) 不存在。 3． 0 f x ( ) ， 0 [ ( )] f x ， f x ( ) 以及 0 ( ) x x f x =  之间的区别与联系。 0 f x ( ) 是函数 y f x = ( ) 在点 0 x 处的导数值，表示的是函数在点 0 x x = 的变化率，即因 变量 y 随自变量 x 的变化而变化的快慢程度； 0 [ ( )] f x  是常数函数 0 f x( ) 的导数，其导数为 0 ； f x ( ) 则是函数 y f x = ( ) 在某一区间 I 内的导函数，一般情况下，它是随 x 的变化而变 化的；若 y f x = ( ) 在区间 I 内可导，且 0 x 是区间 I 内的点，则 0 ( ) x x f x =  就是函数 y f x = ( ) 在点 0 x 处的导数值 0 f x ( ) 。 4． 0 f x( ) +  与 0 f x( ) +  的区别与联系。首先，二者的意义不同， 0 f x( ) +  表示函数 f x( ) 在点 0 x

处的右号数()=四+-)，雨/代)表示导函数了)在点5处的右 极限f(x)=m了)，正是由于二者的意义不同，所以x,)的存在性与fG)的存 在性之间没有必然的关系。例如，∫(x)={ sin 0,x=0. 当x0时，)=2xnc9不存在，但是， )=lin)-lim xsin0. x-0 txx当x≠1时，)=+显然mf)=),但是 arctan 1-x 1 再如f(x)= 0,x=1. 0=+0-册。 h=0·即f'不存在。 其次，在一定条件下，可推出(x)=∫"(x),即有如下的命题成立： 命题3设函数fx)在[x,x+d】内连续，在(x,+6)内可导(6>0)，且 1imf"(x)存在，则有1imf(x)=f(x,). 该命题可用第三章的拉格朗日中值定理证明（略）。 类似地，可以讨论人'(x)与∫"()的区别与联系 5.什么情况下不用左、右导数的定义来求出一些特殊函数在特殊点处的左、右导数？ 只要满足本节命题3及如下的命题4的条件，就可以直接利用其相应的结论来计算左、 右导数。 命题4设函数fx)在[x-d,x】内连续，在(x-6,x)内可导(6>0)，且1imf'(x) 存在，则有1imf"(x)=广(x) 6.可导偶（奇）函数的导数的奇偶性是否是确定的？ 可导偶（奇）函数的导函数的奇偶性是确定的，有如下命题： 命题5(1)可导偶函数的导函数是奇函数： (2)偶函数的奇数阶导函数（若存在）为奇函数： (3)偶函数的偶数阶导函数（若存在） 为偶函数 命题6(1)可导奇函数的导函数是偶函数： (2)奇函数的偶数阶导函数（若存在）为奇函数： (3)奇函数的奇数阶导函数（若存在）为偶函数

处的右导数 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim h f x h f x f x h + → + + −  = ，而 0 f x( ) +  表示导函数 f x ( ) 在点 0 x 处的右 极限 0 0 ( ) lim ( ) x x f x f x + + →   = ，正是由于二者的意义不同，所以 0 f x( ) +  的存在性与 0 f x( ) +  的存 在性之间没有必然的关系。例如， 2 1 sin , 0, ( ) 0, 0. x x f x x x    =    = 当 x  0 时， 0 1 1 ( ) 2 sin cos , lim ( ) x f x x f x x x → +   = − 不存在，但是， 0 0 ( ) (0) 1 (0) lim lim sin 0 x x 0 f x f f x x x + → → + + −  = = = − 。 再如 1 arctan , 1, ( ) 1 0, 1. x x f x x x  +   =  −   = 当 x 1 时， 2 1 1 1 ( ) , lim ( ) 1 2 x f x f x x → +   = = + 显然 ，但是 0 0 2 arctan (1 ) (1) (1) lim lim h h h f h f h f h h + → → + +   +   + −   −  = = =  。即 f (1) +  不存在。 其次，在一定条件下，可推出 0 f x( ) +  = 0 f x( ) +  ，即有如下的命题成立： 命题 3 设函数 f x( ) 在 0 0 [ , ] x x + 内连续，在 0 0 ( , ) x x + 内可导（   0 ），且 0 lim ( ) x x f x → +  存在，则有 0 lim ( ) x x f x → +  0 f x( ) + =  。 该命题可用第三章的拉格朗日中值定理证明（略）。 类似地，可以讨论 0 f x( ) −  与 0 f x( ) −  的区别与联系 5．什么情况下不用左、右导数的定义来求出一些特殊函数在特殊点处的左、右导数？ 只要满足本节命题 3 及如下的命题 4 的条件，就可以直接利用其相应的结论来计算左、 右导数。 命题 4 设函数 f x( ) 在 0 0 [ , ] x x − 内连续，在 0 0 ( , ) x x − 内可导（   0 ），且 0 lim ( ) x x f x → −  存在，则有 0 lim ( ) x x f x → −  0 f x( ) − =  。 6．可导偶（奇）函数的导数的奇偶性是否是确定的？ 可导偶（奇）函数的导函数的奇偶性是确定的，有如下命题： 命题 5 （1）可导偶函数的导函数是奇函数； （2）偶函数的奇数阶导函数（若存在）为奇函数； （3）偶函数的偶数阶导函数（若存在）为偶函数。 命题 6 （1）可导奇函数的导函数是偶函数； （2）奇函数的偶数阶导函数（若存在）为奇函数； （3）奇函数的奇数阶导函数（若存在）为偶函数

只证明命题5的第一个结论，其他结论可类似地证明 设x是可导偶函数的定义域内的任意一点，则 -x)=m+-fx.-m-f国.-fx, h -h 即f(x)为奇函数。 7.以非零常数T为周期的可导函数∫(x)的导函数∫(x)是否一定是周期函数？∫(x)与 ∫"(x)的周期有怎样的关系？ 以非零常数T为周期的可导函数f(x)的导函数f'(x)一定是周期函数，∫'(x)的周期 也为T。 只需证明对任意的x,恒有f"(x+T)=∫"(x)即可。 事实上， f%+n=-+7+月飞+D=四+-x h h 所以∫”(x)是以T为周期的周期函数。 8.函数f(x)的导函数∫'(x)的间断点（如果有）有怎样的特点？ 设函数f(x)在开区间(a,b)内可导，x∈(a,b),导函数f'(x)在x处不连续，则x必 为f"(x)的第二类间断点。 假设x是f(x)的第一类间断点，则f'(x)在x处的左、右极限f"(x)f"(x)都存在， 因此由本节的命题4及命题3分别得到 (x0)='(x),"(0)='()。 又f(x)在点x处可导故有'(x)=(x)="(x),从而有∫"(x)="(x)=f"(x), 这与∫(x)在点x处不连续矛盾。 所以，函数∫(x)的导函数间断点（如果有）必为第二类间断点。 9.如果函数g(x)在点处或函数f(叫在点4（其中山=g())处不可导，那么复合 函数f几g(x川在x处是香一定不可导 复合函数求导法则中关于函数g(x),f()可导的条件是保证复合函数f几g(x】可导

只证明命题 5 的第一个结论，其他结论可类似地证明。 设 0 x 是可导偶函数的定义域内的任意一点，则 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) h h f x h f x f x h f x f x f x → → h h − + − − − −   − = = − = − − ， 即 f x ( ) 为奇函数。 7．以非零常数 T 为周期的可导函数 f x( ) 的导函数 f x ( ) 是否一定是周期函数？ f x( ) 与 f x ( ) 的周期有怎样的关系？ 以非零常数 T 为周期的可导函数 f x( ) 的导函数 f x ( ) 一定是周期函数， f x ( ) 的周期 也为 T 。 只需证明对任意的 0 x ，恒有 0 0 f x T f x   ( ) ( ) + = 即可。 事实上， 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) h h f x T h f x T f x h f x f x T f x → → h h + + − + + −   + = = = 。 所以 f x ( ) 是以 T 为周期的周期函数。 8．函数 f x( ) 的导函数 f x ( ) 的间断点（如果有）有怎样的特点？ 设函数 f x( ) 在开区间 ( , ) a b 内可导， 0 x a b ( , ) ，导函数 f x ( ) 在 0 x 处不连续，则 0 x 必 为 f x ( ) 的第二类间断点。 假设 0 x 是 f x ( ) 的第一类间断点，则 f x ( ) 在 0 x 处的左、右极限 0 f x( ) −  0 f x( ) +  都存在， 因此由本节的命题 4 及命题 3 分别得到 0 0 f x f x ( ) ( ) − −   = ， 0 0 f x f x ( ) ( ) + +   = 。 又 f x( ) 在点 0 x 处可导,故有 0 0 0 f x f x f x ( ) ( ) ( ) − +   = =  ，从而有 0 f x( ) −  = 0 0 f x f x ( ) ( ) +   = ， 这与 f x ( ) 在点 0 x 处不连续矛盾。 所以，函数 f x( ) 的导函数间断点（如果有）必为第二类间断点。 9．如果函数 g x( ) 在点 0 x 处或函数 f u( ) 在点 0 u （其中 0 0 u g x = ( ) ）处不可导，那么复合 函数 f g x [ ( )] 在 0 x 处是否一定不可导？ 复合函数求导法则中关于函数 g x( ) ， f u( ) 可导的条件是保证复合函数 f g x [ ( )] 可导

的充分条件，而不是必要条件。因此，当g(x)或f()的可导性不满足时，复合函数f几g(x】 仍有可能是可导的。 例如：(1)g(x)=x在x=0处不可导，f(0=2在u=g(0)=0处可导，而 几g(x】=x2在x=0处可导。 (2)g(x)=x2在x=0处可导，f(=4在u=g(0)=0处不可导，而f几g(x】=x 在x=0处可导。 (3)g(x)=x+x在x=0处不可导，f()=u-叫在M=g(0)=0也处不可导，而 f几g(x=x+x-r+=0在x=0处可导。 10.初等函数的导函数是否一定为初等函数？初等函数的导函数仍为初等函数 11.那些函数的高阶导数的公式是必须掌握的？ (1D(x)=a(a-l)(a-n+l0ra-": (2)(e)n)=e: (3)(a')=a'(Ina)" （4x=(←y-a- X 6)m=sx+受： (6)(eosx)m=cosx+受). 12.怎样理解由参数方程确定的函数的高阶导数的计算公式？ 借助于复合函数的求导法则，可推导出由参数方程工=从确定的函数y=闭)的 (y=() 阶导数的计算公式，即少=0 dx o(r) 。对于y=fx)的二阶导数的计算公式的推导可以从 三个不同的角度去理解 (1)从复合函数的求导法则去理解 注意到y与的对应关系是通过参数揭示出来的，即y=y)是由y-y但 p'(t) 和1=p'(x)复合而成的，因此按照复合函数的求导法则及反函数的求导公式即可得出 （w) g dx dt dx (t) (2)利用化归思想借助一阶导数的计算公式求函数y=(x)的二阶导数

的充分条件，而不是必要条件。因此，当 g x( ) 或 f u( ) 的可导性不满足时，复合函数 f g x [ ( )] 仍有可能是可导的。 例如：（1） g x x ( ) = 在 x = 0 处不可导， 2 f u u ( ) = 在 u g = (0) =0 处可导，而 2 f g x x [ ( )] = 在 x = 0 处可导。 （2） 2 g x x ( ) = 在 x = 0 处可导， f u u ( ) = 在 u g = (0) =0 处不可导，而 2 f g x x [ ( )] = 在 x = 0 处可导。 （3） g x x x ( ) = + 在 x = 0 处不可导， f u u u ( ) = − 在 u g = (0) =0 也处不可导，而 f g x x x x x [ ( )] 0 = + − + = 在 x = 0 处可导。 10．初等函数的导函数是否一定为初等函数？ 初等函数的导函数仍为初等函数 11．那些函数的高阶导数的公式是必须掌握的？ （1） ( ) ( ) ( 1) n x  = −   .( 1) n n x   − − + ； （2） ( ) ( )x n x e e = ； （3） ( ) ( ) (ln ) x n x n a a a = （4） ( ) 1 ( 1)! (ln ) ( 1) n n n n x x − − = − ； （5） ( ) (sin ) sin( ) 2 n n x x  = + ； （6） ( ) (cos ) cos( ) 2 n n x x  = + 。 12．怎样理解由参数方程确定的函数的高阶导数的计算公式？ 借助于复合函数的求导法则，可推导出由参数方程 ( ), ( ) x t y t    =   = 确定的函数 y f x = ( ) 的 一阶导数的计算公式，即 ( ) ( ) dy t dx t    =  .。对于 y f x = ( ) 的二阶导数的计算公式的推导可以从 三个不同的角度去理解： （1）从复合函数的求导法则去理解 注意到 y x 与 的对应关系是通过参数t揭示出来的 ，即 y y x   = ( ) 是由 ( ) ( ) t y t     =  和 1 t x  ( ) − = 复合而成的，因此按照复合函数的求导法则及反函数的求导公式即可得出 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t d y d dy d y d y dt t dx dx dx dx dt dx t               = = =  =  .。 （2）利用化归思想 借助一阶导数的计算公式求函数 y f x = ( ) 的二阶导数

「x=(t)2 事实上，函数y=y(x)由参数方程 确定的函数，所以由一阶导数 0(t) d(y) 射第公式得密盘 （p), 。 (3)利用微分的计算公式。 dy_d(y)() (p), dx2 dx '(t)dt p') 三阶以上的各阶导数可类似地理解 13.如何理解微分概念？ 根据微分的定义，只要函数在点处可微，则必有△y=A△x+o(△x),且少=A△x, 这里的△未必很小，只要所取的△x使得x。+△r在函数的定义域中即可。 其次，如前所述，极限理论是微分学的基础，但从微分的定义很难看出其与极限之间的 联系，这实际上是一种误解，对△y=A△x+o(△x)进行变形，得△y-A△x=o(△x), 盖式等价于四一=0，即酒数微分的板念仍然是以反限作为逻转建付基陆的。 14.导数与微分的区别与联系 概念上有着本质的不同。函数y=f(x)在点处的导数(x)是函数y=f(x)在 点处关于自变量的变化率，反映了函数y在点x处随自变量变化的快慢程度：而微分 少=A△r=f"(x)△r是以x和x+△为端点的微小区间上以函数y在点x,的变化率 ∫"(x)代替该小区间上任意点处的变化率后得到的线性函数的增量。当函数y=f(x)给定 后，函数在点，处的导数f'(x)的大小一般只与点名有关：而微分d少=A△x=f"(x)△x一 般与x和△x有关。从性质上看，函数在某点的导数是常数，而微分是变量，即随△x的变 化而变化。从几何上看，导数表示的是在曲线y=f(x)该点的切线的斜率，而微分表示的 是曲线在该点的切线上的点的纵坐标的增量。 者的联系：可导必可微，可微必可导：在计算上，利用导数可以计算微分，利用微分 也可以计算导数

事实上，函数 y y x   = ( ) 由参数方程 ( ), ( ) ( ) x t t y t     =     =    确定的函数，所以由一阶导数 的计算公式，得 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t d y d y d y t dt dx dx t dx dt               = = =  .。 （3）利用微分的计算公式。 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t dt d y d y t t dx dx t dt t                          = = = =   .。 三阶以上的各阶导数可类似地理解。 13．如何理解微分概念？ 根据微分的定义，只要函数在点 0 x 处可微，则必有  =  +  y A x o x ( ) ，且 dy A x =  ， 这里的 x 未必很小，只要所取的 x 使得 0 x x + 在函数的定义域中即可。 其次，如前所述，极限理论是微分学的基础，但从微分的定义很难看出其与极限之间的 联系，这实际上是一种误解，对  =  +  y A x o x ( ) 进行变形，得  −  =  y A x o x ( ) ， 该式等价于 0 lim 0 x y A x  → x  −  =  ，即函数微分的概念仍然是以极限作为其逻辑建构基础的。 14．导数与微分的区别与联系 概念上有着本质的不同。函数 y f x = ( ) 在点 0 x 处的导数 0 f x ( ) 是函数 y f x = ( ) 在 点 0 x 处关于自变量的变化率，反映了函数 y 在点 0 x 处随自变量变化的快慢程度；而微分 0 0 0 dy A x f x x x x x =  =  +  ( ) 是以 和 为端点的微小区间上以函数 y 在点 0 x 的变化率 0 f x ( ) 代替该小区间上任意点处的变化率后得到的线性函数的增量。当函数 y f x = ( ) 给定 后，函数在点 0 x 处的导数 0 f x ( ) 的大小一般只与点 0 x 有关；而微分 0 dy A x f x x =  =  ( ) 一 般与 0 x 和 x 有关。从性质上看，函数在某点的导数是常数，而微分是变量，即随 x 的变 化而变化。从几何上看，导数表示的是在曲线 y f x = ( ) 该点的切线的斜率，而微分表示的 是曲线在该点的切线上的点的纵坐标的增量。 二者的联系：可导必可微，可微必可导；在计算上，利用导数可以计算微分，利用微分 也可以计算导数