第一章函数与极限 1,.数列极限1ima,=a表示当n充分大后，a,越来越接近于a,这种说法正确吗？ 这种说法不正确。因为“an越来越接近于a”一般理解为“an一d单调减少”，而 lima,=a则表示当n无限增大时，a。-d无限趋近于零。a,-d单调减少，但不一定趋 于零，而口，一d无限趋近于零时，a,一d不一定单调减少.例如，数列x,=1+上越来越 接近于零，即k,-0单调减少，但m无，≠0：又如，数列以-2+-少→0n→0)， 但.-0并非单调减少，当然不能说“y,越来越接近于零”。因此，应该说，lma,=a 表示“只要当n充分大，a,与a就可以小于预先任意给定的正数￡。” 2.如何理解“数列{a,}不以a为极限”这句话？ 数列{a}不以a为极限并不意味着其极限一定不存在，它的极限也可能是存在的，只 不过其极限不是常数a,而是另一个常数6（≠a)。例如，数列x。=2-不以1为极限，但 它的极限却是另一个常数2。 3.如何证明数列数列{an}不以a为极限？ 若存在某一正数6。，使得对任意正整数N,总存在正整数n,当>N时，有 a。一d>o,即说明数列{a,}不以a为极限，其中o是根据数列{a,}及常数a的特点事 先找到的一个正数。例如，证明数列a,=1-上不以0为极限，其证明过程如下： 取，=3则对任意正整数N,取正整数%=N+1,显然%>N,且有 1 la-0=1- 所以，数列an=1-不以0为极限。 4.如何证明数列{an}不存在极限？ 一般采用两种方法： (1)找出数列{an}的一个发散子列
第一章 函数与极限 1．数列极限 lim n n a a → = 表示当 n 充分大后， n a 越来越接近于 a ，这种说法正确吗？ 这种说法不正确。因为“ n a 越来越接近于 a ”一般理解为“ n a a − 单调减少”，而 lim n n a a → = 则表示当 n 无限增大时， n a a − 无限趋近于零。 n a a − 单调减少，但不一定趋 于零，而 n a a − 无限趋近于零时， n a a − 不一定单调减少。例如，数列 1 1 n x n = + 越来越 接近于零，即 0 n x − 单调减少，但 lim 0 n n x → ；又如，数列 2 ( 1) 0( ) n n y n n + − = → → ， 但 0 n y − 并非单调减少，当然不能说 “ n y 越来越接近于零”。因此，应该说， lim n n a a → = 表示“只要当 n 充分大， n a 与 a 就可以小于预先任意给定的正数 。” 2．如何理解“数列 an 不以 a 为极限”这句话？ 数列 an 不以 a 为极限并不意味着其极限一定不存在，它的极限也可能是存在的，只 不过其极限不是常数 a ，而是另一个常数 b a ( ) 。例如，数列 1 2 n x n = − 不以 1 为极限，但 它的极限却是另一个常数 2。 3．如何证明数列数列 an 不以 a 为极限？ 若存在某一正数 0 ，使得对任意正整数 N ，总存在正整数 0 n ，当 0 n N 时，有 0 n 0 a a − ，即说明数列 an 不以 a 为极限，其中 0 是根据数列 an 及常数 a 的特点事 先找到的一个正数。例如，证明数列 1 1 n a n = − 不以 0 为极限，其证明过程如下： 取 0 1 3 = ，则对任意正整数 N ，取正整数 0 n N= +1 ，显然 0 n N ，且有 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 2 2 3 n a n n N − = − − = − = − − = = + ， 所以，数列 1 1 n a n = − 不以 0 为极限。 4．如何证明数列 an 不存在极限？ 一般采用两种方法： （1）找出数列 an 的一个发散子列
(2)找出数列{a,}的两个存在不同极限的子列。 5.在函数极限的“￡一6”定义中，出现限制条件x一x>0。为什么？是否可以去掉这 一限制条件？ 首先，Iimf(x)=A的意义是：当自变量x无限趋近于x时，对应的函数值f(x)无限 接近常数A,强调的是自变量x从,的左右两侧无限逼近时，函数(x)的变化趋势， 这与函数f(x)在x处有无定义没有任何关系，或者说，f(x)在x,处有无定义并不影响 x→，时f(x)的变化状态。若去掉这一限制条件，即把Iimf(x)=A的定义写作：“如果 对任意的正数，总存在正数6，使得对于适合不等式一x<6的一切x,对应的函数 值f(x)都满足不等式f(x)-A<E。”显然，当x=x时，也有f(x)-A<E,由于e的 任意性，必有f(x)=A,但这个条件显然与x→x时f(x)的变化趋势是不相干的.例如， -号在=1时无定义，但-2.形知，活数)= 1 .x=1 1 在x=1时有定义，且g0=),但m8x)=2。 6.在讨论函数极限时，在什么情况下要考虑左、右极限？ 只要讨论函数f(x)在某点，处的极限，都应分析单侧极限的情况。如果当x→x,时， f(x)在x两侧的变化趋势一致，则就不必分开研究：如果f(x)在x,两侧的变化趋势有差 别，就应分别讨论左、右极限。一般来说，在讨论分段函数在分段点的极限、某些三角函数 和反三角函数在特殊点的极限时，都必须研究左、右极限：指数函数如f(x)=e在x=0处 的左、右极限也是不一样的 7如何应用海涅定理 海涅定理的内容是：1m(x)=A的充分必要条件是：对于任何数列{}，满足 x。→(n→o)且xn≠x(n=1,2,）,都有limf(xa)=A。 海涅定理有三方面的应用： (1)若mf)=A存在，但不能求出极限的具体值，可设法找到一收敛于x的数列{x}
（2）找出数列 an 的两个存在不同极限的子列。 5．在函数极限的“ − ”定义中，出现限制条件 0 x x − 0 。为什么？是否可以去掉这 一限制条件？ 首先， 0 lim ( ) x x f x A → = 的意义是：当自变量 x 无限趋近于 0 x 时，对应的函数值 f x( ) 无限 接近常数 A ，强调的是自变量 x 从 0 x 的左右两侧无限逼近 0 x 时，函数 f x( ) 的变化趋势， 这与函数 f x( ) 在 0 x 处有无定义没有任何关系，或者说， f x( ) 在 0 x 处有无定义并不影响 0 x x → 时 f x( ) 的变化状态。若去掉这一限制条件，即把 0 lim ( ) x x f x A → = 的定义写作：“如果 对任意的正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 0 x x − 的一切 x ，对应的函数 值 f x( ) 都满足不等式 f x A ( ) − 。”显然，当 0 x x = 时，也有 f x A ( ) − ，由于 的 任意性，必有 0 f x A ( ) = ，但这个条件显然与 0 x x → 时 f x( ) 的变化趋势是不相干的。例如， 2 1 ( ) 1 x f x x − = − 在 x =1 时无定义，但 1 lim ( ) 2 x f x → = ；再如，函数 2 1 , 1, 1 ( ) 1 , 1 2 x x x g x x − − = = 在 x =1 时有定义，且 1 (1) 2 g = ，但 1 lim ( ) 2 x g x → = 。 6．在讨论函数极限时，在什么情况下要考虑左、右极限？ 只要讨论函数 f x( ) 在某点 0 x 处的极限，都应分析单侧极限的情况。如果当 0 x x → 时， f x( ) 在 0 x 两侧的变化趋势一致，则就不必分开研究；如果 f x( ) 在 0 x 两侧的变化趋势有差 别，就应分别讨论左、右极限。一般来说，在讨论分段函数在分段点的极限、某些三角函数 和反三角函数在特殊点的极限时，都必须研究左、右极限；指数函数如 1 ( ) x f x e = 在 x = 0 处 的左、右极限也是不一样的 7．如何应用海涅定理？ 海涅定理的内容是： 0 lim ( ) x x f x A → = 的充分必要条件是：对于任何数列 xn ，满足 0 ( ) n x x n → → 且 0 ( 1,2, ) n x x n = ，都有 lim ( ) n n f x A → = 。 海涅定理有三方面的应用： （1）若 0 lim ( ) x x f x A → = 存在，但不能求出极限的具体值，可设法找到一收敛于 0 x 的数列 xn
若1imf(x)=A,则limf(x)=A: (2)若找到一收敛于x数列{x},且1imf(x,)不存在，则1imfx)不存在：或者，若找 到两个收敛于x数列{x},{x，lim f(x,)与imfx,)均存在极限，但imfx,)与 mc)不相等，则mfx)不存在： (3)当m)存在但不容易求出时，可考擦mf),若mf)=A,则 limf(m)=A。 8。如何理解无穷小与函数极限之间的关系的应用？ 无穷小与函数极限之间的关系有如下应用： (1)提供了一种求极限的方法。利用这种方法求极限的关键是对给定的数列或函数进行恒 等变形。 例如，由于 23.20-2+ (n+1)2 (n+1)2 而当n→o时， 0中是无穷小，故m2分+n+3-2。 (n+12 再如，因为当x→0时，f)=-16=x+4=4+x,且x为无穷小，所以 x-4 4 (2)运用这一关系可以判断较复杂函数中的某一抽象函数的变化趋势，从而将抽象函数具 体化。关于这一点，我们将在后面以实例给出具体分析。 9.无穷大与无界函数之间的关系。 如果当x→x(或x→0)时，∫(x)为无穷大，则在，的任一去心的邻域内（或 当>X(X>0)时)，f(x)是无界的：反之，如果在x的任一去心邻域内（或当 d>X(X>0)时)，f(x)是无界的，那么当x→x。(或x→0)时，f(x)不一定是无 穷大 对于数列也有类似的结论：无穷大数列一定是无界数列：无界数列不一定是无穷大数列。 例如，函数 0,0<xs1 f(x)=
若 lim ( ) n n f x A → = ，则 0 lim ( ) x x f x A → = ； （2）若找到一收敛于 0 x 数列 xn ，且 lim ( ) n n f x → 不存在，则 0 lim ( ) x x f x → 不存在；或者，若找 到两个收敛于 0 x 数列 xn ，xn ， lim ( ) n n f x → 与 lim ( ) n n f x → 均存在极限，但 lim ( ) n n f x → 与 lim ( ) n n f x → 不相等，则 0 lim ( ) x x f x → 不存在； （3）当 lim ( ) n f n → 存在但不容 易求出时 ，可考擦 lim ( ) x f x →+ ，若 lim ( ) x f x A →+ = ，则 lim ( ) n f n A → = 。 8．如何理解无穷小与函数极限之间的关系的应用？ 无穷小与函数极限之间的关系有如下应用： （1）提供了一种求极限的方法。利用这种方法求极限的关键是对给定的数列或函数进行恒 等变形。 例如，由于 2 2 2 2 2 2 4 3 2( 1) 1 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) n n n n x n n n + + + + = = = + + + + ， 而当 n → 时， 2 1 ( 1) n + 是无穷小，故 2 2 2 4 3 lim 2 ( 1) n n n → n + + = + 。 再如，因为当 x →0 时， 2 16 ( ) 4 4 4 x f x x x x − = = + = + − ，且 x 为无穷小，所以 2 4 16 lim 4 x 4 x → x − = − 。 （2）运用这一关系可以判断较复杂函数中的某一抽象函数的变化趋势，从而将抽象函数具 体化。关于这一点，我们将在后面以实例给出具体分析。 9．无穷大与无界函数之间的关系。 如果当 0 x x → （或 x → ）时， f x( ) 为无穷大，则在 0 x 的任一去心的邻域内（或 当 x X X ( 0) 时）， f x( ) 是无界的；反之，如果在 0 x 的任一去心邻域内（或当 x X X ( 0) 时）， f x( ) 是无界的，那么当 0 x x → （或 x → ）时， f x( ) 不一定是无 穷大。 对于数列也有类似的结论：无穷大数列一定是无界数列；无界数列不一定是无穷大数列。 例如，函数 0,0 1, ( ) 1 ,1 4 1 x f x x x = −
在x=1的任一去心的邻域内都是无界的，但当x→1时，f(x)不是无穷大，请同学们自 己证明。 再如，数列1,0,3,0,2n-1,0,.是无界数列，但却不是无穷大数列。 10.无穷多个无穷小的乘积是无穷小吗？ 有限个无穷小的乘积是无穷小，但无穷多个无穷小的乘积却不一定是无穷小。例如 111 {"2345. 2写 1u35 {9}1l4,3 {l5,: 显然，每个数列都是无穷小数列，但.x。.■1，这就说明无限多个无穷小的乘积不 一定是无穷小。 11,若在自变量的某一变化过程中，f(x)与g(x)的极限都不存在，则 f)±g了-g)及/园(g()≠0)的极限是否存在？若f田与g中有一个存 8() 在极限，另一个不存在极限，则x)士g.f)g及/( g8()≠0)的极限是否存 在？ 当与伤限车不存.期生8返得e闲上0的 极限可能存在也可能不存在。 当fx)与g(x)中有一个存在极限，另一个不存在极限时， 广g及图(g)≠0)的极限不一定存在，但)士8)的授限一定不存企 设1imf(x)存在，limg(x)不存在，下面只证lim[f(x)+g(x】存在，对于差的情况 可类似证明。 假设lim[f(x)+g(x】存在，由limf(x)存在及极限的运算法则知
在 0 x =1 的任一去心的邻域内都是无界的，但当 x →1 时， f x( ) 不是无穷大，请同学们自 己证明。 再如，数列 1,0,3,0, ,2 1,0, − n 是无界数列，但却不是无穷大数列。 10．无穷多个无穷小的乘积是无穷小吗？ 有限个无穷小的乘积是无穷小，但无穷多个无穷小的乘积却不一定是无穷小。例如， (1) 1 1 1 1 1 2345 n x ： ， ，.； (2) 1 1 1 1 2 345 n x ： ， ，.； (3) 2 1 1 11 3 4 5 n x ： ， ，.； (4) 3 1 111 4 5 n x ： ， ，.； (5) 4 11115 n x ： ， ，.； . 显然，每个数列都是无穷小数列，但 1 2 1 n x x x ，这就说明无限多个无穷小的乘积不 一定是无穷小。 11 ．若在自变量的某一变化过程中， f x( ) 与 g x( ) 的极限都不存在，则 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) f x f x g x f x g x g x g x 及 的极限是否存在？若 f x( ) 与 g x( ) 中有一个存 在极限，另一个不存在极限，则 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) f x f x g x f x g x g x g x 及 的极限是否存 在？ 当 f x( ) 与 g x( ) 的极限都不存在时，则 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) f x f x g x f x g x g x g x 及 的 极限可能存在也可能不存在。 当 f x( ) 与 g x( ) 中 有 一 个 存 在 极 限 ， 另 一 个 不 存 在 极 限 时 ， ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) f x f x g x g x g x 及 的极限不一定存在，但 f x( ) g x( ) 的极限一定不存在。 设 lim ( ) f x 存在， lim ( ) g x 不存在，下面只证 lim[ ( ) ( )] f x g x + 存在，对于差的情况 可类似证明。 假设 lim[ ( ) ( )] f x g x + 存在，由 lim ( ) f x 存在及极限的运算法则知
lim ([f(x)+g(x)]-f(x))=limg(x) 存在，这与img(x)不存在矛盾，故limf(x)+g(x】不存在。 12.如果两个数列{x},{}的乘积{y}是无穷小数列，则{x}与{y}中至少有一个是 无穷小数列，这种说法是否正确？ 这种说法是不正确的。例如， {x}为1,0,3,0,5,0，：{y}为0,2,0,4,0,6,0. 显然，{x}与{y,}都不是无穷小数列，但{xy}={0}是无穷小数列。 与此类似的问题是：如果两个数列{x}与{}的乘积{x}是无穷大数列，则 {x}与{y}中至少有一个是无穷大数列。这种说法也是错误的。例如， {x}为1,1,3,1,5,1，：{y}为1,2,1,4,1,6，. 显然，{x}与{}都不是无穷大数列，但{xy}={}是无穷大数列。 13.如何理解复合函数的极限运算法则？ 复合函数极限的存在性可表述如下： 若1imp(x)=,且x≠x时，x)≠4，令u=p(x),则有下述结论成立： )当mf存在且为A(常数)时，必有m八o(=Imf四=A: (2)当limf0=o时，必有lim几ox】=limf(0=o: (3)当1imf()不存在（也不是无穷大）时，极限1imf几ox】可能存在，也可能不存在。 首先，条件“x≠无时，(x)≠山，”是不可缺少的，若去掉这一条件，结论就不一定 成立了。例如， 0,u=0, 1u≠0. 此时，f几o(x月= 0.x= (n=l,±2，.) 显然，im(x不存在。如果不检验变量代换的条件，即检验“x≠0时
lim [ ( ) ( )] ( ) lim ( ) f x g x f x g x + − = 存在，这与 lim ( ) g x 不存在矛盾，故 lim[ ( ) ( )] f x g x + 不存在。 12．如果两个数列 x y n n , 的乘积 x yn n 是无穷小数列，则 x y n n 与 中至少有一个是 无穷小数列，这种说法是否正确？ 这种说法是不正确的。例如， xn 为 1,0,3,0,5,0,.； yn 为 0，2，0，4，0，6，0.。 显然， x y n n 与 都不是无穷小数列，但 x yn n =0 是无穷小数列。 与此类似的问题是：如果两个数列 x y n n 与 的乘积 x yn n 是无穷大数列，则 x y n n 与 中至少有一个是无穷大数列。这种说法也是错误的。例如， xn 为 1,1,3,1,5,1,.； yn 为 1，2，1，4，1，6，.。 显然， x y n n 与 都不是无穷大数列，但 x y n n n = 是无穷大数列。 13．如何理解复合函数的极限运算法则？ 复合函数极限的存在性可表述如下： 若 0 0 lim ( ) x x x u → = ，且 0 x x 时， 0 ( ) x u ，令 u x = ( ) ，则有下述结论成立： （1）当 0 lim ( ) u u f u → 存在且为 A （常数）时，必有 0 0 lim [ ( )] lim ( ) x x u u f x f u A → → = = ； （2）当 0 lim ( ) u u f u → = 时，必有 0 0 lim [ ( )] lim ( ) x x u u f x f u → → = = ； （3）当 0 lim ( ) u u f u → 不存在（也不是无穷大）时，极限 0 lim [ ( )] x x f x → 可能存在，也可能不存在。 首先，条件“ 0 x x 时， 0 ( ) x u ”是不可缺少的，若去掉这一条件，结论就不一定 成立了。例如， 设 1 0, 0, ( ) sin ( 0), ( ) 1, 0. u u x x x f u x u = = = = 此时， 1 0, , [ ( )] 1 1, . x n f x x n = = （ n = 1 2 ， ，.） 显然， 0 lim [ ( )] x f x → 不存在。如果不检验变量代换的条件，即检验“ x 0 时