《高等数学》课程教学资源（补充提高）第四章 不定积分

第四章不定积分 一、学习目的与要求 1、加深理解原函数与不定积分概念，熟悉不定积分的有关性质。 2、熟记不定积分的基本公式。 3、熟练掌握不定积分的三种基本解法（分解法、换元法和分部积分法）。 4、掌握有理函数、三角函数有理式的积分。 5、会求简单无理函数的不定积分。 二、学习重点 不定积分的换元法与分部积分法 三、内容提要 1、原函数与不定积分的概念若F(x)=fx),则称F(x)是fx)的一个原函数，若 F(x)是fx)的一个原函数，则fx)的原函数的一般表达式为F)+C(C为任意常数)， fx)的原函数的一般表达式称为fx)的不定积分，记作∫f(x),即 f(x)dx=F(x)+C 2、基本性质（下设a,B为常数） (1)[(af(x)+Bg(x)dx=a[f(x)dx+B[g(x)dx (2)fx'=fx)减dfx)d)=fxk∫fx)d=f)+C或d)=f)+C 3、基本积分公式（下设a>0) (1)fr'ds= 。++Ca*-》. (2)J片k=nlx+c, (3)∫e'd=e'+C (4)「a'dk=a/ha+C (5)∫sin xdx=-cosx+C (6)[cosxdx=sinx+C. jch=m4C⑧j-小x=om4C (9)∫an.xdx=-In Icosxl+C (10)[cotxdx=In lsinx|+C (11)secxdx=In lsecx+tanx|+C,(12)cscxdx=In cscx-cotxl+C. (13)[secxtanxdx=secx+C, (14)[cscxcotxdx=-cscx+C

46 第四章 不定积分 一、学习目的与要求 1、加深理解原函数与不定积分概念，熟悉不定积分的有关性质。 2、熟记不定积分的基本公式。 3、熟练掌握不定积分的三种基本解法（分解法、换元法和分部积分法）。 4、掌握有理函数、三角函数有理式的积分。 5、会求简单无理函数的不定积分。 二、学习重点 不定积分的换元法与分部积分法 三、内容提要 1、原函数与不定积分的概念 若 F(x) = f (x), 则称 F(x)是f (x) 的一个原函数，若 F(x)是f (x) 的一个原函数，则 f (x) 的原函数的一般表达式为 F(x) +C （C 为任意常数）。 f (x) 的原函数的一般表达式称为 f (x) 的不定积分，记作  f (x)dx ，即  f (x)dx = F(x) +C 2、基本性质（下设 a, 为常数） （1）    (af (x) + g(x)dx = a f (x)dx +  g(x)dx （2） ( f (x)dx) = f (x) d( f (x)dx) = f (x)dx;  或    f (x)dx = f (x) +C或 df (x) = f (x) +C. 3、基本积分公式（下设 a  0 ） （1） ( 1), 1 1 +  − + = +  C a a x x dx a a （2）  = ln | | + , 1 dx x C x （3） e dx e C, x x = +  （4） a dx a /ln a C, x x = +  （5）  sin xdx = −cos x +C, （6）  cos xdx = sin x +C, （7） sec tan , cos 1 2 2 dx xdx x C x = = +   （8）   dx = xdx = − x +C x csc cot sin 1 2 2 （9）  tan xdx = −ln | cos x | +C, （10）  cot xdx = ln |sin x | +C, （11）  secxdx = ln |secx + tan x | +C, （12）  cscxdx = ln | cscx − cot x | +C, （13）  secx tan xdx = secx +C, （14）  cscxcot xdx = −cscx +C

5)jne-nrg46oj后-rm后+c )jn六cawj血=+1c (I9)∫shxdx=chr+C (20)[chxdx=shx+c 4、基本积分法 (I)分项积分法∫[a(x)+g(x)=af(x)dk+gx)d(a,B为常数) ()凑微分法（第一换元法）若「f(x)=F(x)+C,且p(x)连续，则 「f(o(x》o'(x)t=∫f(o(x)dp(x)=F(o(x)+C. (Ⅲ)换元法（第二换元法）若fx)连续，x=)有连续导数， p'(x)≠0，且∫fx)d=∫f(0)p'u)d=G0+C,则 「fxdk=G(o-'(x)+C (V)分部积分法若x,(x)可导「(x)d(x)存在，则 「u(x)dh(x)=xrx)-∫(x)du(x 5、几类初等函数的积分 (I)有理函数Rx)的积分[Rx)d 一般方法：假分式化为整式与真分式之和，真分式化为最简式： -a'r2+m+rp<4g,neN之和 A A+B (I)三角函数R(sinx,cosx)的积分[R(sinx,cosx)d 通常通过适当代换化为有理函数的积分，常用的变换：令1=a。(万能代换) t=cosx,t=sinx,t=tanx等。 (Ⅲ)简单的无理函数的积分 通常是先作代换，使被积函数有理化后再积分，常用的代换有： 47

47 （15）  = + + arctan , 1 1 2 2 C a x a dx a x （16）  = + − arcsin , 1 2 2 C a x dx a x （17）  + − + = − ln , 2 1 1 2 2 C a x a x a dx a x （18）  = +  +  ln | | , 1 2 2 2 2 dx x x a C x a （19）  shxdx= chx+C, （20）  chxdx= shx+C. 4、基本积分法 （I）分项积分法    [af (x) + g(x)]dx = a f (x)dx +  g(x)dx(a, 为常数) （II）凑微分法（第一换元法） 若  f (x)dx = F(x) + C,且(x) 连续，则   f ((x))(x)dx = f ((x))d(x) = F((x)) + C. （ III ） 换 元 法 （ 第 二 换 元 法 ） 若 f (x) 连续， x =(t) 有 连 续 导 数 ，   (x)  0,且 f (x)dx = f ((t))(t)dt = G(t) + C, 则 f x dx = G x +C  − ( ) ( ( )) 1  （IV）分部积分法 若  u(x),v(x)可导, v(x)du(x) 存在，则   u(x)dv(x) = u(x)v(x) − v(x)du(x). 5、几类初等函数的积分 （I）有理函数  R(x)的积分 R(x)dx 一般方法：假分式化为整式与真分式之和，真分式化为最简式： ,( 4 , ) ( ) , ( ) 2 2 p q n N x px q Ax B x a A n n   + + + − 之和. （II）三角函数  R(sin x,cos x)的积分 R(sin x,cos x)dx 通常通过适当代换化为有理函数的积分，常用的变换：令 2 tan x t = （万能代换）， t = cos x,t = sin x,t = tan x 等。 （III）简单的无理函数的积分 通常是先作代换，使被积函数有理化后再积分，常用的代换有： , , t; cx d ax b dx cx d ax b R x n n = + +       + +  令

[R(x,Va-x)dx, x=asm-7s1≤ 「Rx,Na2+x2), =am受1e引 ∫Rx,x2-a), r=ao0<1<+引 四、思考题 1、原函数与不定积分的概念有何联系与区别？ 2、有理函数的原函数是否为有理函数？初等函数的原函数是否一定为初等函数？ 3、f(x)d'=∫∫"(x)d对吗？并由此正确理解微分与积分之间的互逆关系。 4、同一个被积函数的不定积分可以有不同的表达形式吗？举例说明。 5、若∫fx)=Fx)+C,是香有f几g(x体=凡g(x】+C? 1计草下列分0a在R公h应同 0+e an=sin xcos所以可利用渍微分sin xcostan小 (2xnx)'=1+nx,所以，0+nx)d=d(xhx 31+xey'=e'1+x,所以e'(1+x)d=d1+xe) 条a点=mwe-arC () (2)11+Ix 1 -xhx+C 3x+1 -地 se'du

48 ; 2 2 ( , ) , sin 2 2        − = −     R x a x dx 令x a t t ; 2 2 ( , ) , tan 2 2        + = −     R x a x dx 令x a t t . 2 ( , ) , sec 0 2 2        − =     R x x a dx 令x a t t 且t 四、思考题 1、原函数与不定积分的概念有何联系与区别？ 2、有理函数的原函数是否为有理函数？初等函数的原函数是否一定为初等函数？ 3、 ( f (x)dx) =  f (x)dx 对吗？并由此正确理解微分与积分之间的互逆关系。 4、同一个被积函数的不定积分可以有不同的表达形式吗？举例说明。 5、若  f (x)dx = F(x) +C ，是否有  f[g(x)]dx = F[g(x)] +C? 6、初等函数的不定积分都可以表示成有限形式吗？ 五、典型例题分析 例 1 计算下列积分 dx x x e x dx x x x dx x x x x (1 ) 1 ; (3) ( ln ) 1 ln ; (2) sin cos ln(tan ) (1) 2 + +  +   分析 本题均可用凑微分法。一般采用此法，要求熟悉一些常见函数的微分形式，对不易观 察到的，不妨拿出某一部分求其导数，从而决定如何凑微分。如 [ln(tan )]; sin cos , sin cos 1 1 [ln(tan )] d x x x dx x x （） x  = 所以可利用凑微分 = （2）(x ln x) = 1+ ln x,所以,(1+ ln x)dx = d(x ln x); （3）(1+ x e x ) = e x (1+ x),所以,e x (1+ x)dx = d(1+ x e x )。 解 dx x d tgx x C x x x  =  = + 2 [ln(tan )] 2 1 ln(tan ) ln( ) sin cos ln(tan ) （1） C x x x x d x x dx x x x =  = − + +  ln 1 ( ln ) ( ln ) ( ln ) 1 ln 2 （ ） 2 2 dx xe xe e x dx x xe x x x x x (1 ) ( 1) (1 ) 1 3 + + =  + + （ ） C xe xe C u u u u du x x xe u x + + + = − = −  + = 1 ln 1 ln ( 1) 令1

2计算在 +e' 分析本题的困难之处在于分母出现(1+)2。我们可从两个简单积分中得到启发，由积分 lte" 此联想到本题可通过分解的方法化为简单积分。 n-e0-eC dx e 1 例3计产 分析对于积分∫+1。 一十在我们可变形后用凑微分法求解，如设x0, ，dx-31 x2+122√2②0 √2x 同理2、1 12-2x++c -2 若对前面两个积分比较熟悉，就会联想到本题采用如下巧妙的分解，便可以得到结果。 x+1 1 例4计算∫aresin d。 - 分折发积函数中出现会，在分千出现，可考虑利用族微分空-2反，又得次可谈 微分 d =d(aresin),从而使积分化简。也可考虑直接令aresin=1使积分化

49 例 2 计算 2 (1 ) x e dx +  。 分析 本题的困难之处在于分母出现 2 (1 ) x + e 。我们可从两个简单积分中得到启发，由积分 dx e C e e x x x = + + +  ln(1 ) 1 ，进一步考虑积分 dx e C e e e dx x x x x = − + + + =  +  − − − ln(1 ) 1 1 。从 此联想到本题可通过分解的方法化为简单积分。 解 C e dx e e e e dx e e e e dx x x x x x x x x x + + = − + + + − + =  + + − =  +  − 1 1 ) ln(1 ) 1 (1 ) 1 ( (1 ) 1 (1 ) 2 2 2 例 3 计算 1 4 +  x dx 。 分析 对于积分 dx x x dx x x 1 1 1 1 4 2 4 2 + −  + +  和 我们可变形后用凑微分法求解，如设 x  0 ， C x x x x x d x x x x dx x x + − = − + − =  + + =  + +  2 1 arctan 2 1 ) 2 1 ( ) 1 ( 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 4 2 同理 C x x x x dx x x + + + − + = + −  2 1 2 2 1 2 ln 2 2 1 1 4 1 2 若对前面两个积分比较熟悉，就会联想到本题采用如下巧妙的分解，便可以得到结果。 ) 1 1 1 1 ( 2 1 1 ( 1) ( 1) 2 1 1 1 4 2 4 2 4 2 2 4 + − − + + = + + − − = + x x x x x x x x 解 设 x  0， C x x x x x x dx x x dx x x x dx + + + − + − − = + − −  + + = +   2 1 2 1 ln 4 2 1 2 1 arctan 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 4 2 4 2 4 。 例 4 计算 dx x x x (1 ) arcsin −  。 分析 被积函数中出现 x dx ，在分子出现 x ，可考虑利用凑微分 d x x dx = 2 ，又再次可凑 微分 (arcsin ) 1 d x x d x = − ，从而使积分化简。也可考虑直接令 arcsin x = t 使积分化

简。 解法1 rsd在=2 aesnd=2acsn5 (aresin=(arcin2+C √1-x) 1-x 解法2令arcsinx=t,x=sin2t,k=sin2d, x(1-x) 7,-2h-产+C=+c 例s侣女o>0 分析对于简单无理函数的积分，基本思想是设法使其有理化。 8女-停g+a -at-acosi+C=aarcsin-+C 例6计算」， x2+1 分析本题除可采用三角换元法之外，常常可按形如∫ 的积分，利用倒代换 xvax2+bx+c x=使积分化简。 解法1令x=ant dx=sec2tdt, 解法2令x片血=血 irc区c 例7计算jx3 arctan-dk。 分析本题是典型的用分部积分法求解的题目，只要熟悉山、小选择的规律，是很容易求解 的。其山、h选择的原则：①v易求得：②h易积出，其一般规律符合TE选择 0

50 简。 解法 1 d x xd x x C x x d x x x x =  = + − =  −  2 2 arcsin (arcsin ) (arcsin ) 1 arcsin 2 (1 ) arcsin 解法 2 令 arcsin , sin , sin 2 , 2 x = t x = t dx = tdt dt tdt t C x C t t t t dx x x x =  =  = + = + −  2 2 2 2 2 (arcsin ) sin cos sin 2 (1 ) arcsin 例 5 计算 ,(  0) − +  dx a a x a x 。 分析 对于简单无理函数的积分，基本思想是设法使其有理化。 解 dx a t dt a x a x dx a x a x x a t (1 sin ) ( ) sin 2 2 2  + − + =  − +  令 = = a x C a x at − a t + C = a − − + 2 2 cos arcsin 例 6 计算 1 2 2 +  x x dx 。 分析 本题除可采用三角换元法之外，常常可按形如 x ax bx c dx + +  2 的积分，利用倒代换 t x 1 = ，使积分化简。 解法 1 令 tan , sec , 2 x = t dx = tdt C x x C t t d t dt t t dt t t t x x dx + + =  =  =  = − + = − +  2 2 2 2 2 2 2 1 sin 1 sin sin sin cos tan sec sec 1 解法 2 令 , 1 , 1 2 dt t dx t x = = − C x x dt t C t t x x dx + + = − + + = − + − =  +  2 2 2 2 2 1 1 1 1 例 7 计算 dx x x 1 arctan 3  。 分析 本题是典型的用分部积分法求解的题目，只要熟悉 u、dv 选择的规律，是很容易求解 的。其 u、dv 选择的原则：① v 易求得；②  udv 易积出，其一般规律符合 LIATE 选择