《高等数学》课程教学资源（疑难解答）中值定理

第三章中值定理与导数的应用 1,罗尔定理中“函数f(x)在闭区间[a,b]连续，在开区间(a,b)内可导”这两个条件，是 否可以合并为“函数f(x)在闭区间[a,b]上可导”这一个条件，这样不是更简洁吗？ 函数f(x)“在闭区间[a,b]上可导”不仅包含了f（(x)“在在闭区间[a,b]连续，在开 区间(a,b)内可导”，而且包含了f'(a)与'(b)都存在。这样，条件增强了，必然引起罗尔 定理应用范围的缩小，例如，函数f(x)=V1-x2满足“在[-1，小上连续，在(-1,1)内可导”， e-0.是e,9-高0.可 以看出，5=0∈(-1，).但是，f(x)=√1-x在x=士1处不可导，不满足“在闭区间[a,b] 上可导”。 2.罗尔定理的结论中的5满足∫'(5)=0,5是否一定是函数f(x)的极值点？ 3x2 则存在5e(-1,2).使得f八5)=0，解方程/()=年6-4)=0，可得50，员= 5 气=0不是/的极值点，子是财x的极大值点. 事实上，罗尔定理结论中的5在(a,b)内可以存在多个，其中有的5是f(x)极值点， 但未必所有的E都是∫(x)极值点。 3.在推论“函数在区间I内恒为常数的充分必要条件是∫(x)=0”中，为什么强调的是区 间？ 推论中I为区间很重要，若把I改为集合，则结论未必成立。例如，函数 「2，xe(0,1), -{在集合1=u)上不恒为数。但国=0，xe 4.对于柯西中值定理的证明，如下的推理过程是否正确？ 由于定理中给出的函数fx),F(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，所以，由拉格

第三章 中值定理与导数的应用 1．罗尔定理中“函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 连续，在开区间 ( , ) a b 内可导”这两个条件，是 否可以合并为“函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上可导”这一个条件，这样不是更简洁吗？ 函数 f x( ) “在闭区间 [ , ] a b 上可导”不仅包含了 f x( ) “在在闭区间 [ , ] a b 连续，在开 区间 ( , ) a b 内可导”，而且包含了 f a f b ( ) ( ) + −   与 都存在。这样，条件增强了，必然引起罗尔 定理应用范围的缩小。例如，函数 2 f x x ( ) 1 = − 满足“在 [ 1,1] − 上连续，在 ( 1,1) − 内可导”， 且 f f ( 1) (1) − = ，于是，存在   −( 1,1) ，使得 2 2 ( ) 0 1 1 x x f x    =   = − = − = − − ，可 以看出，  =  − 0 ( 1,1) 。但是， 2 f x x ( ) 1 = − 在 x =1 处不可导，不满足“在闭区间 [ , ] a b 上可导”。 2．罗尔定理的结论中的  满足 f ( ) 0  = ， 是否一定是函数 f x( ) 的极值点？ 通过例子可以说明该问题。例如， 3 ( ) (5 3 ) 4 x f x x = − 在 [ 1, 2] − 上满足罗尔定理的条件， 则存在   −( 1,2) ，使得 f ( ) 0  = ，解方程 2 1 2 3 5 ( ) (5 4 ) 0, = = 4 4 x f x x  = − = 可得  0， 。 1 2 5 0 ( ) = ( ) 4   = 不是f x f x 的极值点， 是 的极大值点。 事实上，罗尔定理结论中的  在 ( , ) a b 内可以存在多个，其中有的  是 f x( ) 极值点， 但未必所有的  都是 f x( ) 极值点。 3．在推论“函数在区间 I 内恒为常数的充分必要条件是 f x ( ) 0 = ”中，为什么强调的是区 间？ 推论中 I 为 区间 很 重要 ，若 把 I 改 为 集合 ，则 结 论未 必成 立 。例 如， 函 数 2, (0,1), ( ) 3, (3,4) x f x x   =    在集合 I = (0,1) ∪ (3,4) 上不恒为常数，但 f x ( ) 0 = ， x I  。 4．对于柯西中值定理的证明，如下的推理过程是否正确？ 由于定理中给出的函数 f x F x a b ( ), ( ) [ , ] 在 上连续，在(a,b)内可导 ，所以，由拉格

朗日中值定理知，存在5∈(a,b),使得 f(b)-f(a)=f(EY(b-a). F(b)-F(a)=F'(5)b-a), 又F'(x)≠0，xe(a,b),故有F'()≠0，上述两式相除，则有 fb)-f@=f'(5b-a=f'(2 F(b)-F(a)f'()b-aF'(5) 这种推理过程显然是错误的，因为∫(x,F(x)是两个不同的函数，拉格朗日中值公式中的5 未必相同。例如，对于函数f(x)=x2在0,1】上使拉格朗日中值定理成立的5=。，而对函 数F)=X,在0，上使拉格朗日中值定理成立的5=号 5.洛必达法则能够解决所有的型、”型的未定式的极限吗？ 世界上不存在万能的方法。使用洛必达法则是有前提条件的，即只有当法则中的三个条 x'sin 件都满足时，才可以利用洛必达法则求这两种未定式的极限。例如，极限四6n虽阔 于8型，包是， (sin!) 2xsin I-cos n(sin x) =im一cosx 不存在，所以求该极限时不能用洛必达法则，实际上 品 lim sinx 又如，极限m+s加￥虽属于2型，但 00 n(css lim (x) 不存在，所以求该极限时不能用洛必达法则，实际上 5-0-1 nx=1是否正确？ 7。用洛必达法则证明重要极限m

朗日中值定理知，存在   ( , ) a b ，使得 ( ) ( ) ( )( ), ( ) ( ) ( )( ), f b f a f b a F b F a F b a   − = −  − = −  又 F x ( ) 0  ， x a b ( , ) ，故有 F( ) 0   ，上述两式相除，则有 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) f b f a f b a f F b F a f b a F     − −   = = − −   。 这种推理过程显然是错误的，因为 f x F x ( ), ( ) 是两个不同的函数，拉格朗日中值公式中的  未必相同。例如，对于函数 2 f x x ( ) = 在 [0,1] 上使拉格朗日中值定理成立的 1 2  = ，而对函 数 3 F x x ( ) = ，在 [0,1] 上使拉格朗日中值定理成立的 3 3  = 。 5．洛必达法则能够解决所有的 0 0   型、 型的未定式的极限吗？ 世界上不存在万能的方法。使用洛必达法则是有前提条件的，即只有当法则中的三个条 件都满足时，才可以利用洛必达法则求这两种未定式的极限。例如，极限 2 0 1 sin lim x sin x x → x 虽属 于 0 0 型 ，但是， 2 0 0 1 1 1 sin 2 sin cos lim lim (sin ) cos x x x x x x x → → x x      −   =  不存在，所以求该极限时不能用洛必达法则，实际上 2 0 0 1 sin 1 lim lim sin 0 x x sin sin x x x x → → x x x   =  =     。 又如，极限 sin lim x x x → x + 虽属于   型 ，但 ( sin ) 1 cos lim lim x x ( ) 1 x x x → → x + +  =  不存在，所以求该极限时不能用洛必达法则，实际上 sin sin lim lim(1 ) 1 x x x x x → → x x + = + = 。 7．用洛必达法则证明重要极限 0 sin lim 1 x x → x = 是否正确？

不正确。若利用洛必达法则，则有 尽管结论是正确的，但在使用洛必达法则的过程中，用到了公式(sinx)=cosx,而此公式 在教材中正是建立在极限mx1的基础之上，因此利用洛必达法则来证明第一个重要 极限在逻辑上犯了循环论证的错误， &怎样利用洛必达法测次型，二型的点列的辰限 对于⊙型、一型的数列极限m之，由于数列是一类不可导的特殊函数，故不能直接 利用洛必达法则，可以先把数列的极限转化为函数的极限，即 -受-得-得美中%=m=glakrs, 极思中得清足洛么达法的条件，则由洛色达法则求出的极吸植四公网 g(x) 产桂-品归之不克不， 9.如何理解泰勒定理？ 泰勒定理可分为： (1)局部的泰勒公式（即带皮亚诺余项的泰勒公式） 设f(x)在处有n阶导数，则 f=j0)+fx-x+2x-y++fx-r+o-y. 21 n! 其中x为点x某邻域内的任意一点。 (2)整体的泰勒公式（即带拉格朗日型的泰勒公式） 设f(x)在[a,b]上有直到n阶的连续导数，在(a,b)内有n+1阶导数，则对任意 x,x∈[a,存在5∈(a,b),使得 =j)+x-x+2(x-xy++x-xy 1 2 n! +且x- n+1

不正确。若利用洛必达法则，则有 0 0 0 sin (sin ) lim lim limcos 1 ( ) x x x x x x → → → x x  = = =  。 尽管结论是正确的，但在使用洛必达法则的过程中，用到了公式 (sin ) cos x x  = ，而此公式 在教材中正是建立在极限 0 sin lim 1 x x → x = 的基础之上，因此利用洛必达法则来证明第一个重要 极限在逻辑上犯了循环论证的错误。 8．怎样利用洛必达法则求 0 0   型、 型的数列的极限？ 对于 0 0   型、 型的数列极限 lim n n n x → y ，由于数列是一类不可导的特殊函数，故不能直接 利用洛必达法则，可以先把数列的极限转化为函数的极限，即 ( ) ( ) lim lim lim ( ) ( ) n n n x n x f n f x → → → y g n g x = = ，其中 ( ), ( )( ) n n x f n y g n n + = =   ， 如果极限 ( ) lim ( ) x f x → g x 满足洛必达法则的条件，则由洛必达法则求出的极限值 ( ) lim ( ) x f x → g x 即为 lim n n n x → y 。注意在 ( ) lim ( ) x f x → g x 不存在时， lim n n n x → y 不一定不存在。 9．如何理解泰勒定理？ 泰勒定理可分为： （1）局部的泰勒公式（即带皮亚诺余项的泰勒公式） 设 f x( ) 在 0 x 处有 n 阶导数，则 ( ) 0 0 0 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! 2! ! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n   = + − + − +  + − + − ， 其中 x 为点 0 x 某邻域内的任意一点。 （2）整体的泰勒公式（即带拉格朗日型的泰勒公式） 设 f x( ) 在 [ , ] a b 上有直到 n 阶的连续导数，在 ( , ) a b 内有 n+1 阶导数，则对任意 0 x x a b a b , [ , ], ( , )   存在 ，使得 ( ) 0 0 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! 2! ! n n f x f x f x f x f x x x x x x x n   = + − + − +  + − + ( 1) 1 0 ( ) ( ) 1 n n f x x n  + + − +

这两个公式是函数逼近论中的重要工具，其区别在于对最高阶导数的要求不同，局部的 泰勒公式只要求最高阶导数在点处存在，而整体的泰勒公式则要求最高阶导数在区间内存在 局部的泰勒公式反映了函数在一点附近的形态，常用作极限计算，因此要熟记常见函数的局 部泰勒公式：整体泰勒公式刻画了函数在整个区间上的性质，是拉格朗日中值定理的推广 拉格朗日中值定理的应用是非常广泛的，可想而知，泰勒公式会有更大的功效，如含高阶导 数的中值命题及不等式的证明、同一点不同阶导数值的计算等都可以用到泰勒定理。 10.若函数f(x)在区间(a,b)内恒有f'(x)≥0或（≤0），其中只有有限个点处的等号成立， 那么f(x)在区间(a,b)内也必单调增加（或单调减少）吗？ 答案是肯定的。若函数f(x)在区间(a,b)内恒有f"(x)之0，任取x,x'e(a,b),不 妨设 x<x”,在(x,x)内存在有限个点x,x,x,使f(x)=0i=12,k),在其他点处， ∫"(x)均大于零，则由单调性判别法，可知f(x)在[x,x][x,x,.[x,x门上均单调增加， 故有 fx)<fx)<f(x)<.<fx)<f(x)<f(x"), 从而f(x)在区间(a,b)内单调增加。 11.若存在x。∈(a,b),使f'(x)>0,能判定f(x)在点x,的某一邻域内是单调增加的吗？ 不能。因为由"(x)>0,推不出在点的某一邻域内f"(x)>0,除非导函数∫(x) 0,x=0, fo=g/0-0+2xsm3-1>0, x-0 当x≠0时， ()-1+4xsin -2cosI 在X4= (2k+z e2☑处)>0，在X'=2k云keZ处f)<0,因此，在点x的 任一邻域内，∫(x)既可取得正值，又可取的负值，所以∫(x)在点的任一邻域内不是单 调的。 12.函数的极值点都是它的驻点吗？ 不一定。若函数(x)在，处可导，且x是它的极值点，则，必是函数的驻点：有的

这两个公式是函数逼近论中的重要工具，其区别在于对最高阶导数的要求不同，局部的 泰勒公式只要求最高阶导数在点处存在，而整体的泰勒公式则要求最高阶导数在区间内存在。 局部的泰勒公式反映了函数在一点附近的形态，常用作极限计算，因此要熟记常见函数的局 部泰勒公式；整体泰勒公式刻画了函数在整个区间上的性质，是拉格朗日中值定理的推广， 拉格朗日中值定理的应用是非常广泛的，可想而知，泰勒公式会有更大的功效，如含高阶导 数的中值命题及不等式的证明、同一点不同阶导数值的计算等都可以用到泰勒定理。 10．若函数 f x( ) 在区间 ( , ) a b 内 恒有 f x ( ) 0   或( 0) ，其中只有有限个点处的等号成立， 那么 f x( ) 在区间 ( , ) a b 内也必单调增加（或单调减少）吗？ 答案是肯定的。若函数 f x( ) 在区间 ( , ) a b 内 恒有 f x ( ) 0  ，任取 x x a b   , ( , )  ，不 妨设 x x    ，在 ( , ) x x   内存在有限个点 1 2 , , , , k x x x  使 ( ) 0( 1,2, , ) i f x i k  = =  ，在其他点处， f x ( ) 均大于零，则由单调性判别法，可知 f x( ) 在 1 1 2 [ , ],[ , ], ,[ , ] k x x x x x x    上均单调增加， 故有 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k f x f x f x f x f x f x −          ， 从而 f x( ) 在区间 ( , ) a b 内单调增加。 11．若存在 0 x a b ( , ) ，使 0 f x ( ) 0  ，能判定 f x( ) 在点 0 x 的某一邻域内是单调增加的吗？ 不能。因为由 0 f x ( ) 0  ，推不出在点 0 x 的某一邻域内 f x ( ) 0  ，除非导函数 0 f x ( ) 在点 0 x 连续。例如， 2 1 2 sin , 0, ( ) 0, 0, x x x f x x x   +  =    = 由导数的定义，得 0 0 ( ) (0) 1 (0) lim lim(1 2 sin ) 1 0 x x 0 f x f f x → → x x −  = = + =  − ， 当 x  0 时， 1 1 f x x ( ) 1 4 sin 2cos , x x  = + − 在 1 ( ) ( ) 0 1 (2 ) 2 k x k f x k  =     + 处 ，在 1 ( ) ( ) 0 2 k x k f x k  =    处  ，因此，在点 0 x 的 任一邻域内， f x ( ) 既可取得正值，又可取的负值，所以 f x( ) 在点 0 x 的任一邻域内不是单 调的。 12．函数的极值点都是它的驻点吗？ 不一定。若函数 f x( ) 在 0 x 处可导，且 0 x 是它的极值点，则 0 x 必是函数的驻点；有的

函数在不可导点x,处也可能取得极值，此时x,就不是函数的驻点。 13.如果函数f(x)在点x。处有极大值，是否一定存在正数6，使x∈(x。-6,x)时f(x)单 调增加：存在正数6，使x∈(x,+6)时fx)单调减少？ 不一定。例如，设 1-x22+sin 1) f(x)= 1x=0 当x≠0时，f-了0)=-r2+sin<0,所以函数f)在点x=0处有极大值 0)=山，但当x≠0时，w)=-4x-2xsn+cos在x处 fx)=(-1-40,k=1,3,5 kπ>0，k=+2,±4，. 因此，在点x=0的任意邻域内，∫'(x)既可以取正值，又可以取负值，从而f(x)在点x=0 的左侧非单调增加，在右侧非单调减少。 14.如何理解函数极大值与极小值、极大值与最大值以及极小值与最小值之间的关系？ 由于极大值和极小值都是体现函数局部性态的概念，因此二者之间没有必然的联系，极 大值未必比极小值大，极小值也未必比极大值小。极大值不一定是最大值，最大值也不一定 是极大值，但如果最大值在区间内不屈的，此时的最大值必定是极大值。极小值不一定是最 小值，最小值也不一定是极小值，但如果最小值在区间内不屈的，此时的最小值也是极小值 15.求函数的最大值和最小值是应注意什么问题？

函数在不可导点 0 x 处也可能取得极值，此时 0 x 就不是函数的驻点。 13．如果函数 f x( ) 在点 0 x 处有极大值，是否一定存在正数 1  ，使 0 0 x x x  − ( , )  时 f x( ) 单 调增加；存在正数 2  ，使 0 0 2 x x x  + ( , )  时 f x( ) 单调减少？ 不一定。例如，设 2 1 1 2 sin , 0, ( ) 1, 0. x x f x x x     − +    =      = 当 x  0 时， 2 1 f x f x ( ) (0) 2 sin 0 x   − = − +      ，所以函数 f x( ) 在点 x = 0 处有极大值 f (0) 1 = ，但当 x  0 时， 1 1 f x x x ( ) 4 2 sin cos , x x  = − − + 在 1 x k = 处， ， 4 0, 1, 3, 5, ( ) ( 1) 0, 2, 4, k k f x k k  =      = − −    =    因此，在点 x = 0 的任意邻域内， f x ( ) 既可以取正值，又可以取负值，从而 f x( ) 在点 x = 0 的左侧非单调增加，在右侧非单调减少。 14．如何理解函数极大值与极小值、极大值与最大值以及极小值与最小值之间的关系？ 由于极大值和极小值都是体现函数局部性态的概念，因此二者之间没有必然的联系，极 大值未必比极小值大，极小值也未必比极大值小。极大值不一定是最大值，最大值也不一定 是极大值，但如果最大值在区间内不屈的，此时的最大值必定是极大值。极小值不一定是最 小值，最小值也不一定是极小值，但如果最小值在区间内不屈的，此时的最小值也是极小值 15．求函数的最大值和最小值是应注意什么问题？