第一章函数的极限与函数的连续性 一、学习目的与要求 1、了解函数极限的e一6定义，会用它证明一些简单函数的极限。 2、了解无穷小，无穷大的概念。掌握无穷小的比较。 3、掌握极限运算法则：了解两个极限存在准则：会用两个重要极限求极限。 4、加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型 5、了解在闭区间上连续函数的性质。 二、学习重点 函数极限的概念及计算 三、内容提要 1、数列极限与函数极限 )概念综过 型 定义式 说明 lim f(x)=a 36>0,当xe(,x。+δ时 a为有 限值， lim f(x)=a 36>0,当x∈(0-6,时 If(x)-aki U(x,8) 为 lim f(x)=a v>0 36>0,当xeU(xo,6时 与 (xo2xo+8) 之并 lim x.=a 3N>0.当n>W时 lim f(x)=a 3X>0,当r>时 VE>0 lf(x)-ak lim f(x)=a 3X>0,当x<-X时 负无穷大 的定义。 lim f(x)=a 3X>0当IxbX时 (Ⅱ)极限的主要性质 设u,v表示数列变量x,或函数变量，在同一个极限过程中mu=A,imv=B,该极限过程可 以是数列极限或函数极限中的任一种，A、B、a、B是常数，则极限有以下性质。 运算性质 线性规则：im(au+)=almu+Blmv 乘积规则：lmv=lim alim y 商规则：m”=mu/mmv≠0) 比较性质(1)若u≥v,则mu≥mv
1 第一章 函数的极限与函数的连续性 一、学习目的与要求 1、了解函数极限的ε—δ定义，会用它证明一些简单函数的极限。 2、了解无穷小，无穷大的概念。掌握无穷小的比较。 3、掌握极限运算法则；了解两个极限存在准则；会用两个重要极限求极限。 4、加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。 5、了解在闭区间上连续函数的性质。 二、学习重点 函数极限的概念及计算 三、内容提要 1、数列极限与函数极限 （I）概念综述 类型 定义式 说明 趋 于 定 值 a f x a x x = → + lim ( ) 0 0 0,当x(x0 , x0 + )时 | f (x) − a | 0 a, x 为 有 限值， ( , ) U x0 为 ( , ) 0 0 x − x 与 ( , ) x0 x0 + 之并 f x a x x = → − lim ( ) 0 0,当x(x0 − , x0 )时 f x a x x = → lim ( ) 0 0,当x U(x0 , )时 趋 于 无 穷 大 xn a n = → lim 0 N 0,当n N时 | f (x) − a | 将“ ”换 作“+ ” 或“- ” 时，则得到 正无穷大， 负无穷大 的定义。 f x a x = →+ lim ( ) X 0,当x X时 f x a x = →− lim ( ) X 0,当x −X时 f x a x = → lim ( ) X 0,当| x | X时 （II）极限的主要性质 设 u,v 表示数列变量 n x 或函数变量，在同一个极限过程中 limu = A,lim v = B, 该极限过程可 以是数列极限或函数极限中的任一种,A、B、 a 、 是常数，则极限有以下性质。 运算性质 线性规则： lim( au + v) = alim u + lim v 乘积规则： lim uv = lim ulim v 商规则： lim = lim u / lim v(lim v 0) v u 比较性质 （1）若 u ≥ v ，则 lim u ≥ lim v
(2)若mu≥mv,则在某个范围X上有u>v 有界性质 (1)若x}收敛，则化，}有界 (2)若1mu=A,则u(x在某个范围X上有界 存在性质 )单调有界准则：单调有界数列必是收敛数列 注X的形式与极限过程相关，当、是数列时，X=m≥，N是某个自然数 当4、v是函数变量，极限过程是x→后时，X=(。-6,),极限过程是 x→x,时，X=Uxo,6),其余类推。 ()基本极限公式 m0 im(=e. m(Wn+i-√m=0, limlim =l(a20) +n-)号 m(-)”不存在 lim(1+x)=e. m0+-e m=1 ®牛 g”1 sin0. me不存在。 马不#在， (IV)极限之间的联系 1)mf)=A台mf)=A=mf) (2)mf)=A台mf)=mf)=A (3)mf)=A台对任意趋于的数列x,有mfx)=A 2.无穷小量与无穷大量 无穷小量在指定极限过程中以零为极限的变量
2 （2）若 lim u ≥ lim v ，则在某个范围 X 上有 u v 有界性质 （1）若 { }n x 收敛，则 { }n x 有界 （2）若 lim u(x) = A ，则 u(x) 在某个范围 X 上有界。 存在性质 （1）单调有界准则：单调有界数列必是收敛数列。 （2）夹逼准则：若 u ≤ ≤ v ，且 u 、v 趋于 A，则 亦趋于 A（三个 变量 u 、 v 、 极限过程相同）。 注 X 的形式与极限过程相关，当 u 、v 是数列时， X ={n | n ≥ N}，N 是某个自然数； 当 u 、 v 是 函 数 变 量 ， 极 限 过 程 是 → − 0 x x 时 ， ( , ) 0 0 X = x − x ，极限过程是 , ( , ) x x0 X U x0 → 时 = ，其余类推。 （III）基本极限公式 e n n n n n = + = → → ) 1 0, lim (1 1 lim ， lim ( +1 − ) = 0, lim = lim =1( 0) → → → n n n a a n n n n n n n n n n n , lim ( 1) 2 1 lim ( ) 2 + − = − → → 不存在 ) , 1 lim (1 ) , lim (1 1 0 e x x e x x x x + = + = → → 1, 1 1, lim sin lim 0 0 = − = → → x e x x x x x 0, 1 1, lim sin ln(1 ) lim 0 0 = = + → → x x x x x x x x e 1 0 lim → 不存在， x x x | | lim →0 不存在。 （IV）极限之间的联系 （1） lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 f x A f x A f x x x x x x x → → + → − = = = （2） lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A. x x x = = = → →+ →− （3） = → f x A x x lim ( ) 0 对任意趋于 0 x 的数列 n x ，有 f xn A n = → lim ( ) 2．无穷小量与无穷大量 （I）概念 无穷小量 在指定极限过程中以零为极限的变量
无穷大量在指定极限过程中趋于无穷大的变量 u=o(y)表示u是较v高阶的无穷小量，即imu=0 u=O()表示u与v是同阶的无穷小量，即muly=a,a是非零常数。 u~V 表示u与v是等价无穷小量，即mu/v=1 无穷小的主部设a,r为常数，a≠0，r>0,若u(x)=+o(x'(x→0)，则说ar是(x)的 主部，x称作基本无穷小，r称作和关于x的阶数。 (I川)运算性质 设“、v是无穷小量，B为有界变量，。为无穷大量，且在同一极限过程下考虑运算， 有w生B心后均是无穷小量。 （2)u+@,B+@,u≠0)均是无穷大量. ()等价无穷小替换原理 设w,则muo=ma,m。=mg (V)常用等价替换公式 在寻求无穷小量“的等价基本无穷小时，可依据以下公式与结果（其中”、可以是函 数变量如snhx→，ex→+网)，也可以是数列，如x,=n+i-瓜x,=h+”等 等)： 积与商若u~v,则uo~v,o1u~o ,若0=o(0 和u+)~ r+o若若l-lua~o 常用公式设→0，则 sin u tan u arcsin u~arctan u~In(1+u)~e"-1~u 1-cosu~,+r-l~aa是常数，。-1~uhdfa>0,u-snu~ 3.函数的连续性 (1)概念 f(x)在一点x连续 函数fx)在的某个领域(。-6,0+)上有定义， 且lmfx)=f(xo)。 fx)在一点左（右）连续函数fx)在的某个左（右）邻域
3 无穷大量 在指定极限过程中趋于无穷大的变量 u = o(v) 表示 u 是较 v 高阶的无穷小量，即 lim u / v = 0 u = O(v) 表示 u 与 v 是同阶的无穷小量，即 lim u/v = a,a 是非零常数。 u ~ v 表示 u 与 v 是等价无穷小量，即 lim u / v =1 无穷小的主部 设 a,r 为常数， a 0,r 0, 若 u(x) = ax + o(x )(x → 0) r r ，则说 ax u(x) r是 的 主部， x 称作基本无穷小， r 称作 u 关于 x 的阶数。 （II）运算性质 设 u 、 v 是无穷小量， B 为有界变量， 为无穷大量，且在同一极限过程下考虑运算， 有（1） 1 u v,uB,u v, 均是无穷小量。 （2） ( 0) 1 + , + , u u u B 均是无穷大量。 （III）等价无穷小替换原理 设 u ~ v，则 u v u v lim = lim ,lim = lim 。 （IV）常用等价替换公式 在寻求无穷小量 u 的等价基本无穷小时，可依据以下公式与结果（其中 u 、v 可以是函 数变量如 sin ln ( →1), ( →+) − x x e x x ，也可以是数列，如 n n x n n x n n + = + − = 1 1 , ln 等 等）； 积与商 若 u ~ v ，则 u ~ v,/u ~/v 和 → − + = + , 1, ~ , ~ , ( ) ~ l u u u u u o u u 若 若 常用公式 设 u → 0 ，则 u u u u u e u u sin ~ tan ~ arcsin ~ arctan ~ ln(1+ ) ~ −1 ~ , 2 1 1 cos ~ 2 − u u (1 u) 1~ au(a是常数), a + − 3 6 1 a 1~ uln a(a 0),u sin u ~ u u − − 3．函数的连续性 （I）概念 f (x) 在一点 0 x 连续 函数 f (x) 在 0 x 的某个领域 ( , ) , x0 − x0 + 上有定义 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 且 。 f (x) 在一点 0 x 左（右 ） 连 续 函 数 f (x) 在 0 x 的 某 个 左 （ 右 ） 邻 域
(x。-6,xX(xo,x。+8》上有定义，且mfx)=f(xXm.f(x)=f(x f(x)在(a,b)连续函数f(x)在(a,b)内的每个点连续。 fx)在[a,b]上连续函数fx)在(a,b)连续，且在左端点a右连续，右端点b左连续。 间断点当mf(x)=f(xo)不成立时，称fx)于x=x处间断，间断点。可分为以下 几种类型： 名称 特征 第一类可去间断点f)与fx)f)=x对)但与x)不等 跳跃何间断点 均存在 fx6)≠fx) 第二类 fx)与f(x)至少有一个不存在 ()主要性质 (1)若f(x)g)均在点连续，则fx)±g(x),fx)g(x),fx)/g(x),(g(x6)≠0)也在 点连续：若f()有定义，p)在1=连续，fx)在x=p(,)连续，则f(0)在 1=1连续。 (2)局部保号性若fx)在n连续，fo)>a则在x的某邻域U(x,6)上fx)>a (3)若y=fx)的反函数为x=f),且fx)在x连续，则(y)在y。=f(x)连 。 (4)基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其定义区间内连续。 ()闭区间上连续函数的性质 设函数)在闭区间[a,个上连续，则有 (1)fx)在[a,)]上有界并取得最大值与最小值（最值定理）。 (2)若fa)fb)<0,则存在5∈(a,b)使f(5)=0(零点存在定理)。 (3)若实数A在fa),fb)之间，则存在5∈(a,b)使f(5)=A(介值定值)。 (4)f(x)a,b]上一致连续，即任给c>0,存在6<0，当x,y∈[a,b]满足|x-yk6 时便有1f(x)-fy)ke。 四、思考题 1小、在函数极限m(x)=A的定义中，回答下列问题 (1)为什么e要任意给定？
4 ( , )(( , )) x0− x0 x0 x0 + 上有定义，且 lim ( ) ( )( lim ( ) ( )). 0 0 0 0 f x f x f x f x x x x x = = → − → + f (x) 在 (a,b) 连续 函数 f (x)在(a,b) 内的每个点连续。 f (x) 在 [a,b] 上连续 函数 f (x) 在 (a,b) 连续，且在左端点 a 右连续，右端点 b 左连续。 间断点 当 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 不成立时，称 f (x) 于 0 x = x 处间断，间断点 0 x 可分为以下 几种类型： 名称 特 征 第一类 可去间断点 ( ) 0 − f x 与 ( ) 0 + f x 均存在 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x f x 但与f x − + = 不等 跳跃间断点 ( ) ( ) 0 0 − + f x f x 第二类 ( ) 0 − f x 与 ( ) 0 + f x 至少有一个不存在 （II）主要性质 （1）若 f (x),g(x) 均在点 0 x 连续，则 f (x) g(x), f (x) g(x), ( )/ ( ),( ( ) 0) f x g x g x0 也在 点 0 x 连续；若 f ((t)) 有定义， 0 (t)在t = t 连续， f (x) 在 ( ) 0 0 x = t 连续，则 f ((t)) 在 0 t = t 连续。 （2）局部保号性 若 f (x) 在 0 x 连续, 0 0 f (x ) a则在x 的某邻域 U(x , ) f (x) a 0 上 （3）若 y = f (x) 的反函数为 ( ) 1 x f y − = ，且 f (x) 在 0 x 连续，则 ( ) ( ) 0 0 1 f y y = f x − 在 连 续。 （4）基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其定义区间内连续。 （III）闭区间上连续函数的性质 设函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续，则有 （1） f (x) 在 [a,b] 上有界并取得最大值与最小值（最值定理）。 （2）若 f (a) f (b) 0, 则存在 (a,b)使f ( ) = 0 （零点存在定理）。 （3）若实数 A 在 f (a), f (b) 之间，则存在 (a,b)使f () = A （介值定值）。 （4） f (x)在[a,b] 上一致连续，即任给 0,存在 0,当x, y[a,b]满足 | x − y | 时便有 | f (x) − f (y)| 。 四、思考题 1、在函数极限 f x A x x = → lim ( ) 0 的定义中，回答下列问题: （1）为什么ε要任意给定？
(2)对于给定的®，对应的8是否唯一？若不唯一，是否要找其中最小的？ (3)定义中两个不等式0<|x0|<5,|x)-A|<e各表示什么意思，它们之间有什么 联系？ 2、若极限mfx)存在，同 (1)∫(x)在x=处是否一定有定义？(2)f(x)在附近是否有界？ 3、若mf)存在，m)不存在，间： (1)mf()±g(x]是否一定不存在？(2)Im[fx)g(x】是否一定不存在？ 4、下列说法是否正确，为什么？ (1)若函数∫(x)在点有极限，则f(x)在点连续： (2)函数在定义域内必处处连续： (3)函数在一点处左右极限都存在而且相等，则此点一定是函数的可去间断点： (4)若函数f(x)在(a,b)连续，则在(a,b)内函数f(x)存在着最大值和最小值。 5设f(x)和g(x)在和点处连续，问f(x)+gx)和f(x)g(x)在0点是香连续？ 五、典型例题分析 例1设f(x)=mm(4x+1,x+2,4-2x),求f(x)的最大值 解这道题用作图法最简单，如图所示，在同一坐标系下，作三直线 y=4x+1,y=x+2,y=4-2x,从图上可见 4x+1,-0<xs1/3 fx)=x+2,1/3<x≤2/3， 4-2x,2/3<x<+0 因此，的最大位是写-骨 13 州：稠定又马一号 33 新111-1-<x,为树州 x-12x+1221+G20+
5 （2）对于给定的ε，对应的δ是否唯一？若不唯一，是否要找其中最小的？ （3）定义中两个不等式 0<︱x-x0︱<δ,︱ f (x) − A ︱<ε各表示什么意思，它们之间有什么 联系？ 2、若极限 lim ( ) 0 f x x→x 存在，问： （1） f (x) 在 x=x0 处是否一定有定义？（2） f (x) 在 x=x0 附近是否有界？ 3、若 lim ( ) 0 f x x→x 存在， lim ( ) 0 g x x→x 不存在，问： （1） lim [ ( ) ( )] 0 f x g x x x → 是否一定不存在？（2） lim [ ( ) ( )] 0 f x g x x x → 是否一定不存在？ 4、下列说法是否正确，为什么？ （1）若函数 f (x) 在点 x0 有极限，则 f (x) 在点 x0 连续； （2）函数在定义域内必处处连续； （3）函数在一点处左右极限都存在而且相等，则此点一定是函数的可去间断点； （4）若函数 f (x) 在（a,b）连续，则在（a,b）内函数 f (x) 存在着最大值和最小值。 5、设 f (x) 和 g(x) 在 x0 点处连续，问 f (x) + g(x) 和 f (x) g(x) 在 x0 点是否连续？ 五、典型例题分析 例 1 设 f (x) = min( 4x +1, x + 2,4 − 2x) ，求 f (x) 的最大值. 解 这道题用作图法最简单，如图所示，在同一坐标系下，作三直线 y = 4x +1, y = x + 2, y = 4 − 2x ，从图上可见 − + + + − = x x x x x x f x 4 2 , 2 / 3 2, 1/ 3 2 / 3 4 1, 1/ 3 ( ) ， 因此， f (x) 的最大值是 3 8 ) 3 2 f ( = 例 2 利用定义证明 2 1 1 1 lim 1 = − − → x x x 分析 2 1 (1 ) 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 − + − = + − − = + − = − − x x x x x x x x ，为使 3 1 3 2 x y