第一讲数列与函数的极限 ·11· 1 (2)四(n+n++n+n+2+.+原+n+n (3)lim(1+x)(1+x)(1+x).(1+x)。 (二)B类 1.计第四1-co同 2.当x+0·时，√x+√：+在与为等价无穷小，试确定常数4。 3.计算m医-6+=(a>0)。 a 5.求四名+2+.+k 6.求limn。 7.设x=10,名1=V√6+名(n=1,2,.),试证明数列{x,}极限存在，并求此极限。 8.设有m个正数a,a2,.,am,A=max{a1,a2,.,a.,证明 limV@+ai+.+a=A
第二讲函数的连续与间断 一、内容提要 (一】函数的连续性 定义1设y=f(x)在。的某邻域内有定义 Ay =f(*o+Ax)-f(o) 如果lim△y=lim[f(x。+△x)-fxo)]=0,则说函数y=f(x)在处连续。 定义2如果函数y=(x)在处满足以下三条： (1)八x)在x。的某邻域内有定义； (2)当→x。时，f八x)有极限； (3)limf(x)=f(), 则说函数y=x)在x处连续 (二)左、右连续 如果1im(x)=(x),则说f(x)在名处右连续，记为 f八粉)=f) 如果1imf(x)=f(xo),则说f代x)在x处左连续，记为 f(xo)=f(xo) 结论：八x)在，处连续当且仅当(x)在。处右连续且f(x)在。处左连续。 (三)函数间断 定义如果f(x)有下列三种情形之一： (1)f(x)在处无定义； (2)f(x)在x。处无极限； (3)limf(x)≠fx), 则f代x)在处不连续，称为f(x)的一个间断点 (1)如果1imf八x)=A≠(x),则称为f八x)的可去间断点； (2)如果1imf(x)=A,1imf(x)=B,但A≠B,则，称为八x)的跳跃间断点； (3)如果i四x)与i四八x)之一为无穷大，则，称为八x)的无穷间断点： (4)除此之外，还有一种称为振荡间断点，如，=0是s血上的振荡间断点。 (四)复合函数的连续性 定理1设函数4=p(x)在x。处连续，且4。=p(x。),而函数y=f代u)在。处连续，则 复合函数y=几(x)]在。处连续，即
第二讲函数的连续与间断 ·13· lim[p(x)]=几p(xo)】=flim(x)] 定理2一切初等函数在定义区间内都是连续的。 (五)闭区间上连续函数的性质 定义如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续，在a处右连续，在b处左连续，则说 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数。 定理1闭区间上的连续函数一定会取得最大值和最小值。 定理2如果函数fx)在闭区间[a,b】上连续，且f(a)与f(b)异号，则在开区间(a, b)内至少存在一个点5，使得f()=0。 定理3设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f()=A,f(b)=B,A≠B,则对于 介于A与B之间的任何值C,在开区间(a,b)内至少存在一个点5，使得f(5)=C。 二、重点、难点 重点：复合函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。 难点：间断点的类型，分段函数的连续性。 三、典型方法与例题 (一)A类（基本要求） 1.函数的连续与间断 【例1】若f八x)在。处连线，试证明f代x)在x处也连续，反之不然。 证明：由于f(x)在处连续，故对于任意给定的e>0,存在6>0，当引x-,<8时，有 lf(x)-f(o)<6 从而 If(x)|-)‖≤f(x)-f(x)|<e 这说明(x)在。处也连续。 反之，考虑 )=l,*<0 山，x≥0 明显(x)|在x=0处连续，但f八x)在x=0处不连续。 【例2】设 f八x)= ，x≠2 k x=2 且f八x)在常=2处连续，求常数k。 解：由函数连续的定义，得 k2)=imx)=m2=i四(x-2)(V2x+5++7方 x-2 x-2 92:古 【例3】设
·14 高等数学疑难解析 (In(+1) ￥>0 fx)=0, x立0 +i-正，x<2 研究f代x)在x=0处的连续性。 解：八x)属于分段定义的函数，x=0是分段定义的分界点，讨论(x)在这种分界点处的 连续性一般有两种方法： 第一，如果f(x)在这种分界点x=。两侧的表达式一样，则需考察极限mf(x)是否存 在，存在后是否等于代x)。 第二，如果f(x)在这种分界点x=两侧的表达式不同，则需考察x)在处的左、右 极限，来确定极限limf(x)是否存在，是否等于f代x）。 本例属于第二种情形。由于 p)=pla+业=ihn(1+片-l )=婴：正-呼4司“四后 2x 从而，limf代x)=1。又由于0)=0≠1imfx),故代x)在x=0处不连续。 【例4】确定函数(x)=e+宁的连续区间，如果有间断点，指出间断点的类型。 解：很明显x=0为f(x)的间断点。由于 line片=ime'e=lime÷-o linc片=lime'e=lime÷a0 得x=0为无穷间断点，连续区间为（-∞，0)，(0，+∞)。 2.方程根的确定 【例1】证明方程x-2sinx=k(k>0)至少有一个正根。 证明：证明方程x-2sinx=k有实根等价于证明函数f(x)=x-2six-k有零点。因此， 令f(x)=x-2sinx-k,由于 f0)=-k<0,f(k+3)=k+3-2sin(k+3)-k=3-2sin(k+3)>0 故在区间(0，k+3)内，f八x)至少有一个零点，也就是方程x-2six=k至少有一个根在(0， k+3)内，即为正根。 【例2】证明方程x-9x-1=0恰有三个实根。 证明：令f八x)=x3-9x-1,可得 f-3)=-1<0,f-2)=9>0,f0)=-1<0,f4)=27>.0 又由于fx)在(-∞，+m)内连续，得f(x)在（-3，-2)，（-2,0)和(0,4)内各 有一个零点，即方程 x3-9x-1=0 至少有三个实根。又由于方程为三次方程，由代数基本定理知道，该方程最多有三个实根，这
第二讲函数的连续与间断 ·15. 便证明了所给方程恰有三个实根。 【例3】设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且八a)<a,f代b)>b,证明：在开区间 (a,b)内至少存在一个点5，使得f)=专。 证明：令F(x)=x)-x,因fx)在[a,b]上连续，得F(x)在[a,b]上连续；又由于 fa)<a,fb)>b,得 F(a)=fa)-a<0,F(b)=fb)-b>0 由零点定理知，在(a,b)内至少存在一个点5，使得F(5)=0,即f(5)=5。 (二)B类（提高要求） x-x 【例】确定)✉云产的选续区间、间断点及类型。 解：由f八x)的表达式，得名=-1，名=0，名=1为f八x)的间断点，故f八x)的连续区间 为(-∞，-1)，(-1,0)，(0,1)，(1，+∞)。又由于 )®樱女1 .”9 得x=0为f(x)的跳跃间断点。由于 -x 卿)=卿=四z+=之 得x=1为f(x)的可去间断点。由于 四）=四2五细x+五“ 得x=-1为f(x)的无穷间断点。 【例2】确定八)的间断点，并指出类型。 解：由f(x)的表达式，得f(x)的间断点为lnx的无定义点x,=0及分母x-3x+2的零 点2=1与名=2。由于 liglnl lig(3+2)=2 得x=0为(x)的无穷间断点。由于 脚四2-可=21=-1 得名=1为八x)的可去间断点。又由于 In xl ln￥ g）=g2-3x+2=四-2= 得名，=2也为f(x)的无穷间断点。 【例3】如果fx)满足f(x,+x)=f(x)+f(名)，且f(x)在x=0处连续。则f(x)所 有点连续。 证明：由于 f(0)=f0+0)=f(0)+f(0)