.6. 高等数学疑难解析 3.利用等价无穷小量代换求极限 【例1)】计算四 ( 解：由于x→0时，tanx-x,又有p(x)一→0时，tanp(x)~p(x),从而得x-→0时， fs如士0，m(si加）-sin子，因此 wn》-g sin 1i四 三=5gsin子=0 【制21计算吗 解：由于x0时，n(1+x)~名，si2x-2x,得 号=四y=4 8in2(2x) arcsin/1 x 【例3)计算四1(1-) ：由于0时，广0，得0时产亡京1-(-， 从面 arcsin- i四1(1-) -1 【制】计算四 解：由于40时，V1+u-1-u,又由于x0时，xix0,从而得x-0时 V1+sins-1-之sinx 而且有 1-cosx=2sim2受~2(}=号 之sis 所以 41安 4.利用极限存在准则求极限 (例】证明回片+a十++2=0 1 证明：由于 总京+n+*高< 1
第一讲数列与函数的极限 .7· 又由于 四带0 由夹通准则，得 +a+*+2]0 【到明‘+，1 1 证明：由于 ++++2+√+n 1 1 又由于 n 由夹通准则，得 + 【例3】计算l5m(cos√：+I-cos历 解：由和差化积公式，得 |osv+T-eosE=2sim医中7+医，in么+- 又由于 |n+≤1，im-s|+T-l 0≤l0sv会+打-cos≤2+复-E-v+T-E 又由于 m(+T-同=▣++0 得 1im(cos√x+T-cosa)=0 (二)B类（提高要求） 【例1】计算回（女3+写女5++2-2+西 1 解：由于 2n-2+n=n2) 1 得
·8. 高等数学疑难解析 1女3+3x5++(2n-(2n+西 =-方+号号+.*2点2)2） 所以 ml3*+35+.+2n-2n+]小-e2-zn+=2 【例2】计算(1-1-1-)(-) 解：由于 1-=a-a+山-“x 得 (-)(-) =分×2×号×号×子×号x.x":x”t=分×” 所以 1-21-)1-)=m子“=分 【例3】计算1 imo之·cos.co是 集经京哈字号 瑞学是 sin去 【例4】计算m(+*+安-个-x+) 解：原式=脚++子，+(++g++ √个+x+x+√小-x+x =▣++本1-+安 2x 2 店1* 三=1 【例5】计算生宁
第一讲数列与函数的极限 ·9 -1+应号 由于 1++g-2应. 回+会2-号(+”=2a+h)hv画 (y心=画 【例6】计算+是+) 解：当n>1时，有 1+层<1+2+层<1+层+是 多 1+2<1+2+层<1+名 从而 (+)<+是+引<(1+n2) 又由于 1+)广=1+n2广=e 由夹逼准则，得 1+只+)=e 【例】计第吗G-m置+ 解： sine() 原式=li四(e-l)tanin(1+sin可 x-1 =g(e-ai+网=ig品=-2 【倒8到】设4>0>0a=V=一兰证明.=。 证明：由已知a,>0,6>0(n=1,2,.),且a1≤b.1(n=1,2,.),于是 an=a6≥Vg=a.(n=2,3,.) b8e86(ae23） 因此，数列.a,}单调递增且有上界b;{b.}单调递减且有下界a。根据极限存在准则
·10 高等数学疑难解析 数列{a,与1b.}都有极限。设ima.=a,lim6.=b。又由于 - lgb. 即b=号(a+b),因此a=b,即ma,=imb。 【例】设=1，气-1+（a2,3,求 解：先证明名单调。显然有->0，设4-1>0，则 =1+(+)a+0 由归纳法原理，得x,单调增加。 又由于 112 1+。 得x。<2,即x。有界，从而imx,=a存在，且满足 =+实 即 a=1+1+a 解得a=子(1+5)或a=7(1-5。由于x>1,故a=之(1-5)不合理，舍去，得 limx。=a=2(1+v5) 四、习题 上类限 (1)im(√m+n-n): a)2, (3)8+2-2, 一 (4)imx2(√+1-x)。 2.计算下列极限 (1)limsin'(π√n+n) 2)+: e-1 (3)g+x- (4)奶+：i 3.计算下列各题 (1)im((sin+T-sin国：