第一讲数列与函数的极限 一、内容提要 (一】数列极限 定义设x,为一个数列，a为常数。如果对于任意给定的正数c,总存在正整数N,使得 对于n>N时的一切x,不等式 lx-al<s 总成立，则说常数a为数列x,的极限，或者说数列x,收敛于a,记为 limx,=a或x,→a(n→o) 定理1（极限唯一性）数列x,不能收敏于两个不同的极限。 定理2（有界性）如果数列x,收敛，则数列x。一定有界。 (二)函数极限 定义1如果对于任意给定的正数6，总存在正数8，使得对于适合不等式0<x-x|<8 的一切x,对应函数值八x)满足不等式 fx)-A|<8 则说常数A为函数f(x)当x→名。时的极限，记为 ix)=A或x)→A(当x→) 定义2如果对于任意给定的正数&，总存在正数X,使得对于适合不等式|x>X的一切 x,对应函数值f(x)满足不等式 f(x)-Al<6 则说常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记为 imfx)=A或fx)→A(当x→) (三)左、右极限 (1)如果x>x。,且x→x。,即当x满足不等式0<x-名，<8时，对应函数值f(x)满足不等 lf(x)-Al<8 则说常数A为函数f代x)当x一。时的右极限，记为 1imf(x)=A或f(x)=A (2)如果x<x。,且x+x,即当x满足不等式0<x。-x<8时，对应函数值f代x)满足不等 [f()-Al<6
2 高等数学疑难解析 则说常数A为函数∫(x)当x→和时的左极限，记为 lim(x)=A或f(x6)=A 结论limf(x)=A当且仅当1imfx)=limf(x)=A (3)如果x>0且无限增大，即当x>X时，对应函数值(x)满足不等式 f（x)-A<8 则记为 imf八x)=A (4)如果x<0且x无限增大，即当x<-X时，对应函数值f代x)满足不等式 lf(x)-Al<6 则记为 limf八x)-A (四)无穷小与无穷大 (1)如果当x+。时，f(x)→0，则说f(x)是x→x时的无穷小；如果当x一∞时，f八x)一 0,则说f(x)是x一∞时的无穷小。 定理1如果limf(x)=A(limf(x)=A),则fx)=A+a(x）,其中a(x)是x→x (x→∞)时的无穷小；反之，如果f(x)=A+a(x),且a(x)是x→x(x→∞)时的无穷小，则 Iix)=A(imfx)=A)。 (2)如果当x→。(x→)时，对应函数值f代x)的绝对值f(x)|无限增大，则说f(x)是 x+,(x→0)时的无穷大。 定义如果对于任意给定的正数M,总存在正数6（或正数X),使得对于适合不等式0< |x-|<6(或x>X)的一切x,对应函数值f(x)满足不等式 lf()>M 则说函数f(x)为x→x(或x→0)时的无穷大，记为 limf(x)=∞（或limf(x)=o) 定理2如果八)为无穷大，则不为无穷小：反之，如果)为无穷小，且八)0， 则石为无穷大。 (五)极限运算法则 定理1有限个无穷小的和也是无穷小。 定理2有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。 定理3如果1imf(x)=A,1img(x)=B,则 (1)1im[f(x)±g(x)]=limf八x)±limg(x)=A±B (2)lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B a)8-把8-音a+o) (六)极限存在准则、两个重要极限 准则【如果数列x,y,和，满足 (1)yn≤x。≤6。(n=1,2,.) (2)limyi=a
第一讲数列与函数的极限 3 limx=a 准则I'如果函数f八x),g(x)和h(x)满足 (1)存在8（或X),当x∈U(,6)(或x>X)时，g(x)≤fx)≤h(x) (2)lim g(x)=lim h(x)=A(limg(x)limh(x)=A) 则 limf(x)=A(limf(x)=A) 准则Ⅱ如果数列，单调有界，则，必有极限。 重要极限1： 四=】 重要极限2： lim(1+1)=c （七】无穷小的比较 设a,B是无穷小 如果m县=0，则说B是比a高阶的无穷小，记为B=o(a): 如果1m县=0，则说B是比a低阶的无穷小： 如果im=c≠0，则说B与a是同阶无穷小： 如果lim县=1，则说B与a是等价无穷小，记为B~a 二、重点、难点 重点：极限的概念、极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较。 难点：极限的概念。 三、典型方法与例题 (一)A类（基本要求） 1,利用极限运算法则求函数的极限 【例1】计算lim(n√n+i-n) a）-。四。e月 1 √m2+I+n 1++1 【8例2】计第二8 解： 【例3】计第四受
·4 高等数学疑难解析 解： 厚高四点台 1-(x-4) -1 【例】计算（已。2） 3 :(2(亡a四a西 1++x2-3 =四四是-1 (x-1)(x+2) 【例5】已知四出=5，求，6的值。 解：由于lim(1-x)=0,得im(x+ax+b)=0,即1+a+b=0,或b=-1-a 因此 -=g业 1 产-o+2)=5 a=-7,b=6 【例6】已知吗(as+b多》-0，确定常数a,b的值。 解： (a+6-》-四+bg”山 x+1 =lima-）+6a+b-l=0 x2+1 因此得a-1=0,b=0,即a=1,b=0 【例7】计算：子3+e) 解： 地和则 -(3+c0sx)=0 1+ 方法2：：+co)=世子.3-0 2.利用两个重要极限求极限 【例1】计算四2 解： 器=2 【例2】计算2严 解：令arctanx=u,得x=tanu,且x0时u→0，因此得 24品·号
第一讲数列与函数的极限 5 【例3】计算四 :增“号 【例4】计算吗严 1 -1 房：严-。=要点 =9a-d+o网=tn‘cd=分 1-c08x 【例5)计算盟千会(1+) 解： 千+)=轻+》 =+21+)=lae=l 【例】计算一（卡封产 解 方法1： 到-2=+2」产 =12时-0产庐. 方法2： 荒浩 第。 【例7】计算1m(cosr)m 解：lim(cosx)a=lim[1-(1-cosx)]m =m[1-(1-co)]a1-wn=g[1-(1-cos)]六器 由f1-1-ae)j6,g'h空分得(eo)6十 【例8】已知1m(任±)=4，求搭数c的值。 解：由于 =1+=1+兰 -+2)产=.4 从而得c=ln2