复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第四章 线性空间与欧氏空间 §4.3 欧几里德（Euclid）空间

、内积的坐标表示 >有了内积的定义,线性空间中的基、维数 坐标等概念也可以应用于欧氏空间. 设V是一个n维欧氏空间,在V中任意取定 个基E,2,…,n,对V中任意两个向量 a,B有 ∑ xie ∑y >由内积的性质(a,B)=CxE,∑yE) ∑∑xy(E,6)

三、内积的坐标表示 ➢ 设 V 是一个 n 维欧氏空间，在 V 中任意取定 一个基 ε1 , ε2 , ...,εn ，对 V 中任意两个向量  ， 有 ➢ 有了内积的定义，线性空间中的基、维数、 坐标等概念也可以应用于欧氏空间. = = n i i i x 1   = = n j j j y 1   ➢ 由内积的性质 ( , ) ( , ) 1 1   = = = n j j j n i i i   x  y  ( , ) 1 1 = = = n i i j n j i j x y  

∑∑xy(5,51) i=1j=1 =x1y1(1E1)+x1y2(E12E2)+…+xy,(E12En +x2y1(E2,61)+x2y2(E2E2)+…+x2yn(E2,En) +xmy,(En,81)+xny2(8n, 82)+ n小n(n3n y(E1,E1)+y2(E1,E2)+…+yn(E1,En) ⅵ1(E21)+y2(E2,62)+…+yn(E2,En) y(En,61)+y2(8n,82)+.+y,En, En) (E1E1)(1E2) 81,E, [x1 (E2,E1)(E2E2) &8 2

( , ) 1 1 = = = n i i j n j i j x y   ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 n n n n n n n n n n n n x y x y x y x y x y x y x y x y x y                   + + + + + + + + + = + + +                           + + + + + + + + + = ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 n n n n n n n n n n y y y y y y y y y x x x                                                         = n n n n n n n n y y y x x x            2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , , ,                  

>利用矩阵可表示为 (a,B)=XAY(3.8) 其中X=[x y1,y2 A=a 8:E lJ1m×n >矩阵A称为基p2,…,1n的度量矩阵 (metric matrix). A是基中各个向量的内积构成的,度量矩阵确定 后,V中任意两个向量的内积可由它们的坐标决定 由定义,度量矩阵是实对称阵 >度量矩阵的对角线元素恒正

➢ 利用矩阵可表示为 ( , ) X AY (3.8) T   = ➢ 其中   T n X x , x , , x = 1 2    T n Y y , y , , y = 1 2  i j n n A a =  [ ] a ( , ) (i, j 1,2, ,n) i j =  i  j =  ➢ 矩阵 A 称为基 ε1 , ε2 , ...,εn 的 度量矩阵 (metric matrix). ➢ 由定义，度量矩阵是实对称阵， ➢ 度量矩阵的对角线元素恒正. ➢ A 是基中各个向量的内积构成的，度量矩阵确定 后，V 中任意两个向量的内积可由它们的坐标决定

例:设p2,,是欧氏空间V中的一个基, 其度量矩阵为 2-301 00139 且V中两个向量a=61+83-264B=2E1+63-3E4 求‖2和(a,B) 解:由度量矩阵的定义a1=(2,6)2=Va2,E2)=V6 由(3.8)式

例： 设ε1 , ε2 , ε3，ε4 是欧氏空间V 中的一个基， 其度量矩阵为             − − − − = 1 1 9 7 0 0 13 9 3 6 0 1 2 3 0 1 A 且V 中两个向量 1 3 4  =  + − 2 1 3 4  = 2 + −3 求 ||ε2 || 和 ( ， ). 解：由度量矩阵的定义 ( , ) i j i j a =    2 = ( 2 , 2 ) = 6 ➢ 由(3.8)式

2-30112 360 (a,B)=[101-2 001391 197-3 2 [0 5-4 3 由 如果基中向量两两正交,度量矩阵变为对角阵 如果基中向量不仅两两正交,而且长度为1 中度量矩阵变为单位阵中内积计算大大简化

            −             − − − − = − 3 1 0 2 1 1 9 7 0 0 13 9 3 6 0 1 2 3 0 1 (,) [1 0 1 2] 7. 3 1 0 2 [0 1 5 4] =             − = − − − ➢ 如果基中向量两两正交，度量矩阵变为对角阵； a ( , ) (i, j 1,2, ,n) 由 i j =  i  j =  ➢ 如果基中向量不仅两两正交，而且长度为1  度量矩阵变为单位阵  内积计算大大简化