§4.3欧几里德( uclid)空间 、欧几里德空间的定义及基本性质 区定义4,7:引入内积后的有限维实线性空间 就是欧氏空间. 常定义内积( nner/ dot/scalar product)如下 实數 (a, B)=a,6,+a,b2+.+a,b,=aB (f, g)= f(x)g(x)dx
§4.3 欧几里德(Euclid)空间 一、欧几里德空间的定义及基本性质 定义 4.7:引入内积后的有限维实线性空间 就是欧氏空间. ➢ 常定义内积 (inner/dot/scalar product) 如下 T 实数 ( , ) = a1 b1 + a2 b2 ++ an bn = = b a ( f , g) f (x) g(x)dx
区内积的基本性质: 对称性 (1)(a,β)=(β,a); (2)(ka,B)=k(α,β) (2、3)线性性 (3)(a+β,y)=(a,γ)+(B,y); (4)(a,a)≥0,当且仅当a=0时(a,a)=0 恒正性
内积的基本性质： (1) (α,β) = (β,α)； (2) (kα,β) = k(α,β)； (3) (α+β,γ) = (α,γ) + (β,γ)； (4) (α,α)≥0 ，当且仅当α=0 时(α,α)= 0 . 对称性 (2、3)线性性 恒正性
二、向量的长度与夹角 >有了内积的定义,可以进一步给出欧氏空间内 向量的长度与向量间夹角的定义 区定义4,8:设a是欧氏空间V的一个向量, 称非负实数 a,a)长度为的向量:单位向量 为向量a的长度( ength)或模或范数 norm, 2范数),记为:‖a 区有了范数就可以度量:度量向量间距离的远近, 度量向量的长度,度量误差的大小
二、向量的长度与夹角 ➢ 有了内积的定义，可以进一步给出欧氏空间内 向量的长度与向量间夹角的定义. 定义 4.8: 设α是欧氏空间 V 的一个向量， 称非负实数 为向量α的长度(length) 或模或范数 (norm，2范数) ，记为: (,) || || 长度为1的向量:单位向量. 有了范数就可以度量：度量向量间距离的远近， 度量向量的长度，度量误差的大小
长度的基本性质: (1)正定性:|l|≥0;且‖叫=0台a=6; (2)齐次性:|kc|=|klc(k∈R) (3)三角不等式:|la+B≤|ll+|f 区定理4,5:柯西一施瓦茨不等式 Cauchy-Schwartz Inequality) 对于欧氏空间V中任意两个向量a,B,恒有 (a,B)≤af(32) 当且仅当a与线性相关时等号成立
长度的基本性质： (3) 三角不等式: || + || |||| + ||||. (1) 正定性: |||| 0; 且|||| = 0 = ; (2) 齐次性: ||k|| = |k|·|||| (kR); 定理 4.5: 柯西—施瓦茨不等式(Cauchy-Schwartz Inequality): 对于欧氏空间 V 中任意两个向量 ， ，恒有 (,) (3.2) 当且仅当 与 线性相关时等号成立
区定义49:设aB是欧氏空间中的两个非零向量 定义a,B的夹角为 (a,B) p= arccos ,0≤s丌 区定义4,10:若(a,B)=0,即φ=x/2,则称o与B 正交或垂直,记为a⊥月
定义, 的夹角为 = arccos (, ) ||||·|||| , 0 定义 4.9:设, 是欧氏空间中的两个非零向量 定义 4.10: 若(, ) = 0, 即 = / 2, 则称与 正交或垂直 ，记为 ⊥