35求解数学模型 求数学模型的解重要而困难 求解数学模型 「求解纯数学问题 ☆涉及不同数学分支的知识,同时还需借助 与背景知识 针对现实问题建立的数学模型,往往仅可求 数值解 有类问题可采用分析法得到问题的实际解 答(如微分方程定性分析)
3.5 求解数学模型 求数学模型的解重要而困难 求解数学模型 求解纯数学问题 * 涉及不同数学分支的知识，同时还需借助 与背景知识. * 针对现实问题建立的数学模型，往往仅可求 数值解. * 有类问题可采用分析法得到问题的实际解 答(如微分方程定性分析)
例3.5.1.稳定的椅子 将一张四条腿一样长的方桌放在不平的地 面上,问是否总能设法使它的四条腿同时着地? 假设 21地面为连续曲面.(在Oxyz坐标系中,地 面可用一个连续二元函数z=z(x,y)表示) 2相对于地面的弯曲程度,方桌的腿足够长 3将与地面的接触看成几何上的点接触 建模 绘制方桌的俯视图,设想桌子绕中心O点旋转, 转动角度记为0
例3.5.1．稳定的椅子 将一张四条腿一样长的方桌放在不平的地 面上, 问是否总能设法使它的四条腿同时着地？ 假设 *1 地面为连续曲面.（在Oxyz坐标系中，地 面可用一个连续二元函数z=z(x,y)表示） *2 相对于地面的弯曲程度, 方桌的腿足够长. *3 将与地面的接触看成几何上的点接触. 建模 绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中心O点旋转， 转动角度记为θ
0 CC 引进函数变量: f()-A、C两腿到地面的距离之和; g()—B、D两腿到地面的距离之和
O A B C D A ’ C’ θ 引进函数变量： f(θ) — A、C 两腿到地面的距离之和； g(θ) — B、D 两腿到地面的距离之和；
由假设*1,f(0)、g(0)都是连续函数, 由*2,方桌腿足够长,至少有三条腿总能同 时着地,故有 f(0)g(0)=0,0∈0,2m」 不妨设敢0)=0、g(0)>0,方桌问题归结为 数学问题 已知f0)和g(0)都是连续函数;f(0)=0、 g(0)>0,且对任意0,都有f(0)g()=0, 求证:存在0,使得0=g(Q 分析:当02时,即AC和BD互换位置
由假设*1，f(θ)、g(θ)都是连续函数， 由*2，方桌腿足够长，至少有三条腿总能同 时着地，故有 f(θ)g(θ)=0，θ∈[0，2π] 不妨设 f(0)=0、g(0)＞0 ，方桌问题归结为 数学问题： 已知 f(θ) 和 g(θ) 都是连续函数；f(0)=0、 g(0)＞0，且对任意θ，都有 f(θ)g(θ)=0， 求证：存在θ0，使得f(θ0 )=g(θ0 ). 分析：当θ=π/2时，即AC 和 BD互换位置
故有f(x/2)>0,g(/2)=0 令h(0)=0)-g(0),则有 h(0)<0,h(兀/2)>0, 因h(0)在[0,m2上连续,根据闭区间 上连续函数的介值定理,存在0∈[0,m2, 使 h(0)=f(0)-g(0)=0 f(0)=g(00) 因对任意0有,f(Og()=0 f()g(0)=0 f(0)=g(0)=0
故有 f(π/2)＞0， g(π/2)=0 令 h(θ)=f(θ)－g(θ)，则有 因 h(θ) 在 [0, π/2]上连续，根据闭区间 上连续函数的介值定理，存在θ0∈[0,π/2]， 使 f(θ0 ) = g(θ0 ) 因对任意θ有, f(θ)g(θ)=0 f(θ0 )g(θ0 )=0 f(θ0 )=g(θ0 )=0 h(θ0 )=f(θ0 )－g(θ0 )=0 h(0)＜0，h(π/2)＞0