(6)若A~B,则A=B; ( P-lAP=B,:B=PAP=P-AP=A. (7)若A~B,则4~B" (∵PAP=B, B"=PAP·PP…PAP=PA"P,) (8)若A~B,则A-1~B-1; (∵PAP=B,∴B=PAP) (9)若A~B,则f(4)~f(B),其中为多项式函数 (10)若A~B,则A与B的特征值相同; K
(6) 若A ~ B,则A = B; ( , 1 P AP = B − .) 1 1 B = P AP = P A P = A − − (7) ~ , ~ ; m m 若A B 则A B ( , 1 P AP = B − B P AP P AP P AP m −1 −1 −1 = .) 1 P A P − m = (8) ~ , ~ ; −1 −1 若A B 则A B ( , 1 P AP = B − .) 1 1 1 B P A P − − − = (9) 若A ~ B,则f (A) ~ f (B),其中f为多项式函数; (10) 若A ~ B,则A与B的特征值相同;
(∵PAP=B, aE-B=hE-p-lAP=ap-lEP-P-lAPl =P-(E-AP=E-4) 反之不一定成立!如(10 0 (11)若A~dig(,42,…,气n), 则1,2…,是4的n个特征值; A1 (∵无E-A (九-A1)…(孔-x) 2-2 令AE-A=0得1,…,是A的特征值) K
( , 1 P AP = B − E B E P AP −1 − = − 1 1 P EP P AP − − = − ( ) 1 = P E − A P − = E − A.) 反之不一定成立! . 0 1 1 1 0 1 1 0 如 与 , , , ; (11) ~ ( , , , ), 1 2 1 2 则 是 的 个特征值 若 A n A diag n n n E A − − − = 1 ( ( ) ( ) = − 1 − n 0 , , .) 令E − A = 得1 n是A的特征值
exl如果4可逆证明AB与BA相似 Proo.∵A-(AB)A=BA, AB与BA相似 K
ex1.如果A可逆,证明AB与BA相似. Proof. ( ) , 1 A AB A = BA − AB与BA相似