^为p,和p1之间的距离，从p1沿到p的增量为p = p(p2) - (pi)若下列极限A0p(p2)-(p)limlim△1△1->0△1△1-→0伴p处存在，则该极限值记作(刘）称之为标量场P沿的方向导数。3、梯度由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场β(在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过
为p2和p1之间的距离，从p1沿 到p2的增量为 若下列极限 存在，则该极限值记作 ，称之为标量场 在p1处 沿 的方向导数。 3、梯度 由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过 l ( ) ( ) = p2 − p1 l p p l l l − = → → ( ) ( ) lim lim 2 1 0 0 l (x) Pl l (x) l
该点沿某一确定方向取得β(在该点的最大方向导数则可引进梯度概念。记作agrad p = VpnOn称之为β（在该点的梯度（grad是gradient 缩写），ao它是一个矢量，其大小|gradβmaxOn向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向，即n表示。方向导数与梯度的关系：
该点沿某一确定方向取得 在该点的最大方向导数， 则可引进梯度概念。记作 称之为 在该点的梯度（grad 是gradient 缩写）， 它是一个矢量，其大小 ，其方 向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即 表示。 方向导数与梯度的关系： (x) n n ˆ grad = = (x) max | grad | ( ) n l = = n ˆ
<npiP2p1等值面等值面β=C2= Ci缇等值面@±i点法线方向单位矢量。它指向增长的方向。表示过p2 点的任一方向。显见，当pp,→0，pip。→0时,pipoPiP2cos
是等值面 上p1点法线方向单位矢量。它指向 增长的方向。 表示过p2 点的任一方向。 显见， n ˆ l 1 = c . cos 0 , 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 p p p p p p p p = 当 → → 时 p 1 p 0 p2 n ˆ l 等值面 等值面 1 = c 2 = c θ
所以a(p2) -(p)limalPiPo→>0PiP2Pp(po)-(p)= cosθ limPipoPiPo2= cosQOnpa即cos6alOn
所以 即 1 1 0 1 0 1 cos ( ) ( ) cos lim ( ) ( ) lim 1 0 0 1 1 2 2 1 0 p p p p p P n p p p p p p p p l = − = − = → l n = cos
该式表明：aaan.i = grad p.iCosAalanOn即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场(x)在空间各点沿不同方向变化快慢的程度
该式表明： 即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向 上的投影。 梯度的概念重要性在于，它用来表征标 量场 在空间各点沿不同方向变化快慢的程 度。 n l l l n n = = = grad ˆ cos (x)