《电动力学》课程授课教案（讲稿）第二章 静电场

电动力学讲稿·第二章静电场第二章静电场主要研究问题：在给定自由电荷及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场。81静电场的标势及其微分方程一、静电场的标势为什么静电场可以用标势描述？aBVxE=-9atVxH=J+aDMaxwell方程atV.D=pV.B=0[D=&E物质方程B=μH（欧姆定律J=E）aB 静电场有×E=-=0$E-di=0at如右图所示，在静电场存在的空间，考察Z任意两点P和P，C和C,为P到P,的两条路CI径，选择顺时针方向为回路积分方向，有Edi -{E-dl +[ E·(-di)= 0C所以Y[E.diE.dl由于C,和C,是任意的，XX=积分（电场力作功）与路径无关，只取决于始末位置，表为= (P)-(P)=-["E·di或dp=-E-dl（可化为全微分）又因为1

电动力学讲稿●第二章 静电场 1 第二章 静电场 主要研究问题：在给定自由电荷及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场。 §1 静电场的标势及其微分方程 一、 静电场的标势 为什么静电场可以用标势描述？ Maxwell 方程 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ = ∂ ∂ ∇ × = + ∂ ∂ ∇ × = − B 0 D t D H J t B E K K K K K K K ρ 物质方程 ⎩ ⎨ ⎧ = = B H D E K K K K μ ε （欧姆定律 J E K K = σ ） 静电场有 = 0 ∂ ∂ ∇ × = − t B E K K ⇒ ∫ E ⋅ dl = 0 K K 如右图所示，在静电场存在的空间，考察 任意两点 P1 和 P2 ，C1和C2 为 P1到 P2 的两条路 径，选择顺时针方向为回路积分方向，有 ( ) 0 1 2 ⋅ = ⋅ + ⋅ − = ∫ ∫C ∫C E dl E dl E dl K K K K K K 所以 ∫ ∫ ⋅ = ⋅ C1 C2 E dl E dl K K K K 由于C1和C2 是任意的， ⇒ 积分（电场力作功）与路径无关，只取决于始末位置，表为 ⇒ ( ) () ∫ − = − ⋅ 2 1 2 1 P P P P E dl K K ϕ ϕ 或 d E dl K K ϕ = − ⋅ （可化为全微分） 又因为

电动力学讲稿●第二章静电场ady+dx+pddp=axOzdydi=é,dx+é,dy+e.dz可得dp=Vp·di，所以E=-Vpβ称为电势。讨论：只有电势差才有物理意义，某点电势值与参照点的选择有关（两点的电势差与参照点的选择无关），常选无穷远处电势为0，则P点的电势为p(P)= ["E.dl二、静电势的直接计算Qp(P)=_对于点电荷：4元0rQp(P)=_对于多点电荷系统：（电场的叠加性原理）14元8010(P)= [P(3)d"对于连续分布的带电体：4元80r计算出电势后，由E=-Vβ可以很方便地得到电场强度。三、静电势满足的微分方程及边值关系一般而言，对于包含自由电荷和导体的体系，自由电荷导致导体上出现感应电荷。感应电荷激发电场使（总）电场改变，总电场又引起感应电荷重新分布达到一个平衡状态，对这类问题上，难以根据上述公式（直接）计算电势。求解思路：从某点电场出发，根据电场的变化（Maxwell方程给出电场强度散度和旋度），求（下一）近邻空间点的电势，重复上述过程，直到导体表面，此处物理量发生跃变，应用边界条件可以跨跃边界继续求解。对包含介质的体系亦是如此。上述过程在数学上表现为（在边界条件下）求解微分方程。?静电势满足的微分方程V.D=pD=cEE=-Vp2

电动力学讲稿●第二章 静电场 2 dz z dy y dx x d ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ϕ ϕ ϕ ϕ dl e dx e dy e dz x y z K G G G = + + 可得 d dl K ϕ = ∇ϕ ⋅ ，所以 E = −∇ϕ K ϕ 称为电势。 讨论：只有电势差才有物理意义，某点电势值与参照点的选择有关（两点的电势差与参照 点的选择无关），常选无穷远处电势为 0，则 P 点的电势为 ( ) ∫ ∞ = ⋅ P P E dl K K ϕ 二、 静电势的直接计算 对于点电荷： ( ) r Q P 4πε 0 ϕ = 对于多点电荷系统： ( ) = ∑ i i i r Q P 0 4πε ϕ （电场的叠加性原理） 对于连续分布的带电体： ( ) ( ) ∫ = r x dV P 4 0 ' ' πε ρ ϕ K 计算出电势后，由 E = −∇ϕ K 可以很方便地得到电场强度。 三、 静电势满足的微分方程及边值关系 一般而言，对于包含自由电荷和导体的体系，自由电荷导致导体上出现感应电荷。感应 电荷激发电场使（总）电场改变，总电场又引起感应电荷重新分布.达到一个平衡状态， 对这类问题上，难以根据上述公式（直接）计算电势。 求解思路：从某点电场出发，根据电场的变化（Maxwell 方程给出电场强度散度和旋度）， 求（下一）近邻空间点的电势，重复上述过程，直到导体表面，此处物理量发生跃变，应用 边界条件可以跨跃边界继续求解。对包含介质的体系亦是如此。 上述过程在数学上表现为（在边界条件下）求解微分方程。 z 静电势满足的微分方程 ∇ ⋅ D = ρ K D E K K = ε E = −∇ϕ K

电动力学讲稿●第二章静电场v0Poisson方程U电势是标量，求解电势通常比直接求解E在数学上更为简单。C电势满足边值关系nx(E, -E)=0(1)电场强度的边值关系：n.(D, -D)=0(2)设P和P,为分界面两侧相邻两点，注意到P-9,=dp=-E-di由于电场有限，P与P,的距离趋于0，kn(3)= 0=(2这一关系与（1）等价。解释：（见P.53)P在介质分界面处选择四个点，P与P,邻近，1P'与P'邻近，设从P到P'的距离为△（注意方向），△i足够小。由上述电势连续条件，PP=2P2根据dp=-E·di，有P'-P,=-E,- =P'-P2=-E,- =E.=E,-7由于的取向具有任意性，可知在界面两边，电场强度的切向分量相等。#完毕由（2)式n.6,E,-n.6E, =0（n由介质1指向介质2）-e,n.,+en.V,=odp（也可表为dp=Vdi），可知由于（P.341第16式）（V),=（方向微商）dln.Vp=00lTanapaq(4)U628OnOr3

电动力学讲稿●第二章 静电场 3 ⇒ ε ρ ∇ ϕ = − 2 Poisson 方程 电势是标量，求解电势通常比直接求解 E K 在数学上更为简单。 z 电势满足边值关系 电场强度的边值关系： ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ − = × − = (2) 0 (1) 2 1 2 1 n D D σ n E E K K K K K K 设 P1和 P2 为分界面两侧相邻两点，注意到 d E dl K K ϕ −ϕ = ϕ = − ⋅ 2 1 由于电场有限， P1 与 P2 的距离趋于0 ， ⇒ ϕ1 = ϕ 2 （3） 这一关系与（1）等价。 解释：（见 P. 53） 在介质分界面处选择四个点， P1 与 P2 邻近， ' P1 与 ' P2 邻近，设从 P1 到 ' P1 的距离为 l G Δ （注意 方向）， l G Δ 足够小。由上述电势连续条件， 1 1 2 2 ϕ '−ϕ = ϕ '−ϕ 根据 d E dl K K ϕ = − ⋅ ，有 E l E l G G G G ϕ1 '−ϕ1 = − 1 ⋅ Δ = ϕ 2 '−ϕ 2 = − 2 ⋅ Δ ⇒ E l E l G G G G 1 ⋅ Δ = 2 ⋅ Δ 由于 l G Δ 的取向具有任意性，可知在界面两边，电场强度的切向分量相等。 ＃完毕 由（2）式 n ⋅ε 2E2 − n ⋅ε 1E1 = σ K K K K （n K 由介质 1 指向介质 2） − ε 2 n ⋅∇ϕ 2 + ε 1n ⋅∇ϕ1 = σ K K 由于（P. 341 第 I.6 式） dl d l ϕ (∇ϕ) = （方向微商） （也可表为 d dl K ϕ = ∇ϕ ⋅ ），可知 n n ∂ ∂ ⋅∇ = ϕ ϕ K ⇒ σ ϕ ε ϕ ε = − ∂ ∂ − ∂ ∂ n n 1 1 2 2 （4）

电动力学讲稿●第二章静电场（3）和（4）式即是电势的边值关系，适用于介质分界面。对于导体，由电磁学知识（P.53），?内部不带电，电荷只能分布在导体表面；导体内部电场E=0；9表面上电场必定沿法线方向，导体表面为等势面，导体为等势体。O由此可知，在导体表面，电势的边值关系为@=constap-0on其中，@为导体外，表面附近的电势，n由导体内指向导体外。四、静电场能量线性介质中静电场的总能量（无磁场）(E·DdV =W=[o.Ddv2J2:[v.(pD)dV + [o(V.D)dv5a[oD-dS+Jppdy2.3W=-(ppdypod2.J-111E.D);讨论：1)不应视为电场的能量密度(pp*2112）只是对于静电场，能量才可写为W=ppdV，表明电场能量与电荷分布有关；3）电场能量不能认为只是存储于电荷分布的空间：4）对于随时间变化的电场（非恒定情形），磁场亦要激发电场，场的总的能量不-[E·DdV仍是正确的。能完全通过电荷分布来表示，但W=2J上式还可以表为[ dv [dvP()p(x)1W-8元起／rTdzEx.1. (P. 55).注意零势点的选择。Ex.2.(P. 56).注意极限。:R4

电动力学讲稿●第二章 静电场 4 （3）和（4）式即是电势ϕ 的边值关系，适用于介质分界面。 对于导体，由电磁学知识（P.53）， z 内部不带电，电荷只能分布在导体表面； z 导体内部电场 E = 0 K ； z 表面上电场必定沿法线方向，导体表面为等势面，导体为等势体。 由此可知，在导体表面，电势的边值关系为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − ∂ ∂ = σ ϕ ε ϕ n const. 其中，ϕ 为导体外，表面附近的电势， n G 由导体内指向导体外。 四、 静电场能量 线性介质中静电场的总能量（无磁场） ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ = − ⋅ + = − ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = ⋅ = − ∇ ⋅ D dS dV D dV D dV W E DdV DdV ϕ ρϕ ϕ ϕ ϕ 2 1 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 2 1 2 1 G G G G G G G ∫ ∫ = = ∞ V W ρϕ dV ρϕ dV 2 1 2 1 讨论： 1） ρϕ 2 1 不应视为电场的能量密度( E D G G ≠ ⋅ 2 1 2 1 ρϕ )； 2）只是对于静电场，能量才可写为 ∫ W = ρϕdV 2 1 ，表明电场能量与电荷分布 有关； 3）电场能量不能认为只是存储于电荷分布的空间； 4）对于随时间变化的电场（非恒定情形），磁场亦要激发电场，场的总的能量不 能完全通过电荷分布来表示，但 ∫ W = E ⋅ DdV K K 2 1 仍是正确的。 上式还可以表为 ∫ ∫ = V V r x x W dV dV ( ) ( ') ' 8 1 G G ρ ρ πε Ex.1. (P. 55). 注意零势点的选择。 Ex.2. (P. 56). 注意极限

电动力学讲稿●第二章静电场$2唯一性定理静电学的基本问题：求出满足边界条件的泊松方程的解。泊松方程是一个二阶微分方程，一般而言，没有边界条件（初条件）时，我们只是可能给出方程的通解，通解中包含一些待定参数，（静电场的）解不是唯一的。d'p1x3+Ax+B。比如，微分方程=x的通解可表为为β=dx?6de=4，则又如果给定边界条件pl。=1，则可定出B=1：如果还给定边界条件dxlo可定出A=4。这样，解就唯一确定了。（如果该问题还给出其他边界条件，这些边界条件是多余的）。问题：在什么样的边界条件下，静电场的解才能唯一确定（泊松方程的解是唯一确定的）？一、无导体存在时的唯一性定理考虑对象：在空间V中含有介质，V可以分为若干个均匀区域V，其中V,内充满电容率为6的均匀介质（8,是常数）。在V.中电势满足Poisson方程V-O在V和V，的分界面，电势满足边值关系P,=0Caedo=6Onn仅有这样的条件不足以完全确定区域V中的电势（电场不是唯一确定的）。问题：要完全确定区域V中的电势，还需要什么样的条件？唯一性定理：给定V内的自由电荷分布p(x)及在V的边界面S上给定1）Ps或2)ap器l，则区域√内的电场唯一确定。注：1.在数学上有失量场的唯一性定理：一个失量场被它的散度、旋度和边值条件唯一确定；2.注意唯一性定理的表述中是“电场唯一确定”而不是“电势唯一确定”，实际上，对于同一个电场，电势并不是唯一的，不同的电势之间可以相差一个常数。ap证明：（反证法）假设：在给定，和下存在两个不同的解β和Onls5

电动力学讲稿●第二章 静电场 5 §2 唯一性定理 静电学的基本问题：求出满足边界条件的泊松方程的解。 泊松方程是一个二阶微分方程，一般而言，没有边界条件（初条件）时，我们只是可能 给出方程的通解，通解中包含一些待定参数，（静电场的）解不是唯一的。 比如，微分方程 x dx d = 2 2 ϕ 的通解可表为为 = x + Ax + B 3 6 1 ϕ 。 如果给定边界条件 1 0 ϕ = ，则可定出 B = 1；如果还给定边界条件 4 0 = dx dϕ ，则又 可定出 A = 4 。这样，解就唯一确定了。（如果该问题还给出其他边界条件，这些边界条件 是多余的）。 问题：在什么样的边界条件下，静电场的解才能唯一确定（泊松方程的解是唯一确定的）？ 一、 无导体存在时的唯一性定理 考虑对象：在空间V 中含有介质，V 可以分为若干个均匀区域Vi ，其中Vi 内充满电容率为 i ε 的均匀介质（ i ε 是常数）。 在Vi 中电势满足 Poisson 方程 i ε ρ ∇ ϕ = − 2 在Vi 和Vj 的分界面，电势满足边值关系 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = j j i i i j n n ϕ ε ϕ ε ϕ ϕ 仅有这样的条件不足以完全确定区域V 中的电势（电场不是唯一确定的）。问题：要 完全确定区域V 中的电势，还需要什么样的条件？ 唯一性定理：给定V 内的自由电荷分布 ρ(x)及在V 的边界面 S 上给定 1）ϕ S 或 2） S ∂n ∂ϕ ，则区域V 内的电场唯一确定。 注： 1. 在数学上有失量场的唯一性定理：一个失量场被它的散度、旋度和边值条件唯一确定； 2. 注意唯一性定理的表述中是“电场唯一确定”而不是“电势唯一确定”，实际上，对于 同一个电场，电势并不是唯一的，不同的电势之间可以相差一个常数。 证明：(反证法)假设：在给定ϕ s 和 s ∂n ∂ϕ 下存在两个不同的解ϕ'和ϕ