电动力学讲稿·第三章静磁场第三章静磁场“静”意味着所有物理量不随时间变化。s1矢势及微分方程一、矢势Maxwell方程中，关于磁场的两个方程aDVxH=j,+atv.B=0引入一矢量场A，使得处处满足B=VxA(1)A自然满足V.(V×A)=0as,矢势的物理意义（P.100）磁通量：J, B.ds=-J,VxA.ds=f A.di上式也说明，穿过一曲面的磁通量与曲面的形状没有关系（如右图，穿过S，和S，的磁通量Si相等)，只决定于曲面的边界。这是由于B的ds无源性导致的（磁感应线必须闭合）。二、规范条件矢势具有任意性，对于一任意（可微）函数，V×(A+VP)=V×A表明矢势A与磁感应强度B不能一一对应。要使它们对应，需要加入辅助（限制）条件，比如，除了要求势满足（1）式，还要求它满足V.A=0(2)这个条件称为规范条件。1
电动力学讲稿●第三章 静磁场 1 第三章 静磁场 “静”意味着所有物理量不随时间变化。 §1 矢势及微分方程 一、 矢势 Maxwell 方程中，关于磁场的两个方程 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∇ ⋅ = ∂ ∂ ∇ × = + B 0 t D H J f G G G G G 引入一矢量场 A G ，使得处处满足 B A G G = ∇ × （1） z A G 自然满足 ∇ ⋅(∇ × A) = 0 G z 矢势的物理意义（P. 100） 磁通量： ∫ ∫ ∫ ⋅ = ∇ × ⋅ = ⋅ S S L B ds A ds A dl G G G G G G 上式也说明，穿过一曲面的磁通量与曲面的形 状没有关系（如右图，穿过 1 S 和 2 S 的磁通量 相等），只决定于曲面的边界。这是由于 B G 的 无源性导致的（磁感应线必须闭合）。 二、 规范条件 矢势具有任意性，对于一任意（可微）函数ψ ， A A G G ∇ × ( + ∇ϕ) = ∇ × 表明矢势 A G 与磁感应强度 B G 不能一一对应。 要使它们对应，需要加入辅助（限制）条件，比如，除了要求矢势满足（1）式，还要 求它满足 ∇ ⋅ A = 0 G （2） 这个条件称为规范条件
电动力学讲稿·第三章静磁场讨论：.规范条件的选择不是唯一的。三、矢势满足的微分方程Vx(V×A)=V×B=Vx(uH)=μ(VxH)=μ J由公式（P.343，1.25式）V×(V×j)= V(V.j)-V?j利用规范条件（2）Vx(V×A)=V(V.A)-VA=-?A矢势满足的微分方程V?A=-ujU(3)·分量形式V?A, =-μ J,(i = 1, 2, 3)(4)四、矢势的边值关系由[n-(B, -B)= 0nx(H, -H)=a,可得矢势的边值关系n·(V×A,-V×A)=0(5)nx(1vx4-v×4)=α(12上述边值关系运用在数学上较麻烦，矢势的边值关系还可以写为较简单的形式A = A(6)证明：7对于右图所示的（红线）回路（△I很小）$A.di -(A2, - A,)I当回路宽度趋于0时，fA.dl -[B.ds -→0A2, = Al(7)U由规范条件V.A=0，可得2
电动力学讲稿●第三章 静磁场 2 讨论： z 规范条件的选择不是唯一的。 三、 矢势满足的微分方程 A B H H J K G G G G ∇ × (∇ × ) = ∇ × = ∇ × (μ ) = μ(∇ × ) = μ 由公式（P. 343，I. 25 式） f f f G G G 2 ∇ × (∇ × ) = ∇(∇ ⋅ ) − ∇ 利用规范条件（2） A A A A G G G G 2 2 ∇ × (∇ × ) = ∇(∇ ⋅ ) − ∇ = −∇ 矢势满足的微分方程 ⇒ A J K K ∇ = −μ 2 （3） z 分量形式 ( 1, 2, 3) 2 ∇ Ai = −μ Ji i = （4） 四、 矢势的边值关系 由 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ × − = ⋅ − = n H H f n B B α K K K K K K K ( ) ( ) 0 2 1 2 1 可得矢势的边值关系 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × ∇ × − ∇ × ⋅ ∇ × − ∇ × = n A A f n A A α μ μ K G G K G G K 1 1 2 2 2 1 1 1 ( ) 0 （5） 上述边值关系运用在数学上较麻烦，矢势的边值关系还可以写为较简单的形式 A2 A1 K K = （6） 证明： 对于右图所示的（红线）回路（ Δl 很小） A dl A A l ⋅ = t − t Δ ∫ ( ) 2 1 G G 当回路宽度趋于 0 时， ⋅ = ⋅ → 0 ∫ ∫ A dl B dS G G G G ⇒ A2t = A1t (7) 由规范条件 ∇ ⋅ A = 0 K ，可得
电动力学讲稿●第三章静磁场A2n = Aln(8)由（7）和（8）式可以得（6）式。#矢势与磁感应强度五、注意到电势满足的微分方程为o=-PZ60电势的解3[P(x)dv"04元0比较（4）式，所以YJ(x')dv)A= A(x)=(9)iX4元rr为源点P到场点P的距离。J(X)μVxB= V×A(X)= -d4元)()a-(1T=B=[()xavr34元／这即是Biot-Savart 定律。六、 静磁场的能量·静磁场的总能量W=-[B.HdV =[(V× A)- Hdv22利用P.343公式（1.21）V.(fxg)=(Vxj).g-f-(Vxg)有H·(V×A)=(V×H).A-V·(H×A)，利用数学中的高斯定理3
电动力学讲稿●第三章 静磁场 3 A2n = A1n (8) 由（7）和（8）式可以得（6）式。 ＃ 五、 矢势与磁感应强度 注意到电势满足的微分方程为 0 2 ε ρ ∇ ϕ = − 电势的解 ∫ = r x dV 4 0 ( ') ' πε ρ ϕ K 比较（4）式，所以 ∫ ⇒ = r J x dV A x ( ') ' 4 ( ) K K K K π μ （9） r 为源点 P' 到场点 P 的距离。 ∫ ∫ ∫ ⎟× = − × ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∇ = ∇ × = ∇ × ( ') ' 4 ( ') ' 1 4 ' ( ') 4 ( ) 3 J x dV r r J x dV r dV r J x B A x K K G K K K K K K K π μ π μ π μ ' 3 ( ') 4 dV r J x r B ∫ × ⇒ = G K K K π μ 这即是 Biot-Savart 定律。 六、 静磁场的能量 z 静磁场的总能量 ∫ ∫ W = B ⋅ HdV = ∇ × A ⋅ HdV K K G K ( ) 2 1 2 1 利用 P. 343 公式（I. 21） ( f g) ( f ) g f ( g) G G G G G G ∇ ⋅ × = ∇ × ⋅ − ⋅ ∇ × 有 H ( A) ( H) A (H A) K G K G K G ⋅ ∇ × = ∇× ⋅ − ∇ ⋅ × ，利用数学中的高斯定理
电动力学讲稿·第三章静磁场W-[(V×A) HdV-[×H).A-.(H×A)vJ(VH).Adv-.(H×A)dv.AV-f(x).ds2上述积分趋于是磁场存在的全空间，所以，在区域表面上没有磁场（H=0），所以电流系统激发的静磁场的总能量[A.JdW=(10)2J电流J与外磁场的相互作用能（电流放在外磁场中的能量）设外磁场A.由电流J激发，电流J激发的磁场为A，静磁场的总能量为[(A+A,).(J+J.)dVW=-[-Ja+[4.J.d+[A.-J2前两项分别是J，和J单独存在时的能量，相互作用能JA. Jdv +[A.J.dvW, =注意到A()=()dV4TA.(3)=共[(1)dv4元又
电动力学讲稿●第三章 静磁场 4 [ ] ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = ⋅ − × ⋅ = ∇ × ⋅ − ∇ ⋅ × = ∇ × ⋅ = ∇ × ⋅ − ∇ ⋅ × J AdV H A dS H AdV H A dV W A HdV H A H A dV ( ) 2 1 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 G G K G K G K G G K K G K G 上述积分趋于是磁场存在的全空间，所以，在区域表面上没有磁场（ H = 0 G ），所以 电流系统激发的静磁场的总能量 ∫ W = A⋅ JdV K K 2 1 （10） z 电流 J K 与外磁场的相互作用能（电流放在外磁场中的能量） 设外磁场 Ae G 由电流 e J K 激发，电流 J K 激发的磁场为 A G ，静磁场的总能量为 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + A JdV A J dV A J dV A J dV W A A J J dV e e e e e e K K K K K K K K K K K K 2 1 ) 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 1 前两项分别是 e J K 和 J K 单独存在时的能量， 相互作用能 ∫ ∫ Wi = Ae ⋅ JdV + A⋅ JedV K K K K 2 1 2 1 注意到 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ∫ ∫ r J x dV A x r J x dV A x e e ( ') ' 4 ( ) ( ) 4 ( ') K K K K K K K K π μ π μ 又
电动力学讲稿●第三章静磁场(3()d.j()dvJA·Jav="4元Jr-1 ( [dvr=JJ.(x).A(")dV-JA.J.dV电流和外场的相互作用能量为W, =J.A.dV(11)Ex.1 (P. 104)Ex.2(P.105)5
电动力学讲稿●第三章 静磁场 5 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = ⋅ = ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⋅ ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ = A J dV J x A x dV dV r J x dV J x J x dV r J x dV A JdV e e e e e G K K G K K K G K K K G K K K K ( ') ( ') ' ' ( ) 4 ( ') ( ) ( ') ' 4 π μ π μ 电流和外场的相互作用能量为 ∫ Wi = J ⋅ AedV K K （11） Ex. 1 （P. 104） Ex. 2 （P. 105）