《电动力学》课程授课教案（讲稿）第一章 电磁现象的普遍规律

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律第一章 电磁现象的普遍规律S1电荷和电场库仑定律QQ'F=-4元80元·描述两个点电荷的相互作用力…·（库仑力）。库仑定律描述的两个点电荷之间的相互作用力不是通过超距作用的，一般在静电现象中（“静”指O不随时间而变），难以判断是否是超距作用。历史上两种观点存在争论：当电荷随时间而变时，两种观点存在不同的结果。实验表明“场”的观点是正确的。即每个电荷在其周围激发电场，其他电荷放在这个电场中会以力的形式感受该电场的存在。关于电场、电场强度（板画）一个点电荷O激发电场，现要描述在位置处的电场。现置入一采用检验电荷Q’，去检测电场强度，定义电场强度FQEQ'4元电场强度是指单位电荷受到的作用力。问题：何谓检验电荷（检验电荷意味着什么）？讨论：?实际上并不存在严格的点电荷，一般带电体具有一定体积，电荷也存在一定分布（（单个电子是否存在电荷分布没有科学定论），在置入O'后，将导致原电荷分布发生变化。故要求Q'足够小，使得这种变化可以忽略。F·上式中，E可以用于一般的带电系统（单个点电荷、多个点电荷、宏观带电体），?Q它提供了一种从实验测量电场强度的方法（只要，O'足够小），（考虑到带电系统总存在电F与E总存在差异，当Q→0时，与E严格相同。但是，如果带电系统是荷分布，）Q'g'-

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律 1 第一章 电磁现象的普遍规律 §1 电荷和电场 一、 库仑定律 r r QQ F G G 3 4πε 0 ′ = z 描述两个点电荷的相互作用力.（库仑力） z 库仑定律描述的两个点电荷之间的相互作用力不是通过超距作用的，一般在静电现象中 (“静”指Q 不随时间而变)，难以判断是否是超距作用。历史上两种观点存在争论；当电荷 随时间而变时，两种观点存在不同的结果。实验表明“场”的观点是正确的。即每个电荷 在其周围激发电场，其他电荷放在这个电场中会以力的形式感受该电场的存在。 关于电场、电场强度 （板画）一个点电荷Q 激发电场，现要描述在位置 r G 处的电场。现置入一采用检验电荷 Q′，去检测电场强度，定义电场强度 r r Q Q F E G G G 3 4πε 0 = ′ ≡ 电场强度是指单位电荷受到的作用力。 问题：何谓检验电荷（检验电荷意味着什么）？ 讨论： z 实际上并不存在严格的点电荷，一般带电体具有一定体积，电荷也存在一定分布（(单 个电子是否存在电荷分布没有科学定论)，在置入Q′后，将导致原电荷分布发生变化。故要 求Q′足够小，使得这种变化可以忽略。 z 上式中， Q F E ′ ≡ G G 可以用于一般的带电系统（单个点电荷、多个点电荷、宏观带电体）， 它提供了一种从实验测量电场强度的方法（只要，Q′足够小），（考虑到带电系统总存在电 荷分布，） Q F ′ G 与 E G 总存在差异，当Q'→ 0 G 时， Q F ′ G 与 E G 严格相同。但是，如果带电系统是

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律F与E严格相同（不需要当→0)。严格的点电荷，对于有限大小的O"，Q'0采用E=一产提供了从理论上计算电场强度的方法，在这个表达式中，无需置入4元6rQ，Q激发的电场并不发生改变，但他只能用于单个点电荷激发的电场。问题：对于多个点电荷和宏观带电体激发的电场，从理论上应该如何计算？多点电荷激发的电场运用叠加原理ZE=1i4元8。1P(x, y,z)宏观带电体激发的电场（电荷连续分布）采用电荷密度p(r)描述带电体电荷分布，它表示单位体积内包含的电量。体积元dv→0，p(x）dv可视为点电荷，运用y叠加原理有[p(r)rdyXE=4元80rGauss定理、电场的散度考查一个点电荷Q激发的电场，0E-4元8.r作一包含该电荷的封闭曲面S，计算积分（电场通量）OdsSE.ds=+r.ds4元0S0rcoseds4元rQdo4元8059-602

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律 2 严格的点电荷，对于有限大小的Q′， Q F ′ G 与 E G 严格相同（不需要当Q'→ 0 G ）。 采用 r r Q E G G 3 4πε 0 = 提供了从理论上计算电场强度的方法，在这个表达式中，无需置入 Q′，Q 激发的电场并不发生改变，但他只能用于单个点电荷激发的电场。 问题：对于多个点电荷和宏观带电体激发的电场，从理论上应该如何计算？ z 多点电荷激发的电场 运用叠加原理 = ∑ i i i i r Q r E 3 0 4 1 G G πε z 宏观带电体激发的电场（电荷连续分布） 采用电荷密度 (r′) G ρ 描述带电体电荷分布，它表 示单位体积内包含的电量。 体积元 dv → 0 ， ( ) x' dv G ρ 可视为点电荷，运用 叠加原理有 ( ) ∫ ′ = v r r rdv E 3 4πε 0 ρ G G G 二、 Gauss 定理、电场的散度 考查一个点电荷Q 激发的电场， r r Q E G G 3 4πε 0 = 作一包含该电荷的封闭曲面 S ，计算积分（电场通量） 0 0 2 0 3 0 4 cos 4 4 ε πε θ πε πε Q d Q dS r Q r dS r Q E dS S S S S = = Ω = ⋅ = ⋅ ∫ ∫ ∫ ∫ G G G G

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律讨论：1)。fE·S=不仅对于单个点电荷成立，对于多个点电荷和连续分布的宏观带60电体也是成立的（可以证明），Q应该是封闭曲面（Gauss面）S包含的总的电荷。2)：f后·ds=称为 GausS定理（积分形式)，它的成立与库仑定律的平方反比关S80系密切相关：对于其他平方反比关系的物理量（如万有引力），也有类似的规律。为了导出Gauss定理的微分形式，需要利用数学中的散度定理：对某一矢量A，有$A·ds=[V·Ady（数学上要求在V中的空间各点，A是连续可微的：√是一矢量微商a%+.%，矢量的敢度为算子，在直角坐标系下有√=é+é"ax1eOzyayaadivA=V.A--A+-A,+（自行证明））。对于电场，任选一Gauss面，有A.O2ax"xOfE.ds-Q[(v.E)dv =[Pdv（p表示电荷分布密度）60V60sJ(V.E-P)dV=060Gauss面S是任意选取的，所以V具有任意性且可以任意缩小，故V.E-P60这就是Gauss定理的微分形式。讨论：1)．微分形式是关于空间点的关系式，是关于电场的局域（空间某点及其邻域）关系式，表明空间某点电场的散度只与该点的电荷密度有关，要在某一空间区域使用Gauss定理的微分形式，要求在该区域内空间各点，电场强度是连续可微的；而Gauss定理的积分形式是关于某一有限空间区域的关系式，它的使用，并不要求这一区域的电场在空间各点连续可微。2)。√E是E的散度，它表示空间某点是否“有源”。如果有源，作一包含电荷的小体积元△V，一定有“净”电力线穿过（源为正电荷情形，源为负电荷情形）。3）：（实验表明）Gauss定理的微分形式不仅对于静电场成立，对于随时间变化的电磁场也是成立。这里我们可以看到，尽管Gauss定理是由库仑定律导出，但是库仑定律并不能用于随时间变化的电场（如运动电荷、随时间变化的带电系统O(t）情形）。其实，一3

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律 3 讨论：1). 0 ε Q E dS S ⋅ = ∫ G G 不仅对于单个点电荷成立，对于多个点电荷和连续分布的宏观带 电体也是成立的（可以证明），Q 应该是封闭曲面（Gauss 面） S 包含的总的电荷。 2). 0 ε Q E dS S ⋅ = ∫ G G 称为 Gauss 定理（积分形式），它的成立与库仑定律的平方反比关 系密切相关；对于其他平方反比关系的物理量（如万有引力），也有类似的规律。 为了导出 Gauss 定理的微分形式，需要利用数学中的散度定理:对某一矢量 A G ,有 ∫ ∫ ⋅ = ∇ ⋅ S V A ds Adv G G G （数学上要求在V 中的空间各点， A G 是连续可微的；∇ 是一矢量微商 算子，在直角坐标系下有 z e y e x ex y z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ = G G G ，矢量 A G 的散度为 x y Az z A y A x divA A ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ≡ ∇ ⋅ = G G （自行证明））。对于电场，任选一 Gauss 面，有 0 ε Q E dS S ⋅ = ∫ G G ⇒ ∫ ∫ ∇ ⋅ = V V E dV dV 0 ( ) ε G ρ ( ρ 表示电荷分布密度) ⇒ ∫ ∇ ⋅ − = V ( E )dV 0 0 ε G ρ Gauss 面 S 是任意选取的，所以V 具有任意性且可以任意缩小，故 0 ε ρ ∇ ⋅ E = G 这就是 Gauss 定理的微分形式。 讨论： 1). 微分形式是关于空间点的关系式，是关于电场的局域（空间某点及其邻域） 关系式，表明空间某点电场的散度只与该点的电荷密度有关，要在某一空间区域使用 Gauss 定理的微分形式，要求在该区域内空间各点，电场强度是连续可微的；而 Gauss 定理的积 分形式是关于某一有限空间区域的关系式，它的使用，并不要求这一区域的电场在空间各 点连续可微。 2). E G ∇ ⋅ 是 E G 的散度，它表示空间某点是否“有源”。如果有源，作一包含电荷 的小体积元 ΔV ，一定有“净”电力线穿过（源为正电荷情形，源为负电荷情形）。 3). （实验表明）Gauss 定理的微分形式不仅对于静电场成立，对于随时间变化的 电磁场也是成立。这里我们可以看到，尽管 Gauss 定理是由库仑定律导出，但是库仑定律 并不能用于随时间变化的电场（如运动电荷、随时间变化的带电系统Q(t) 情形）。其实，一

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律般地讲，Gauss定理的积分形式也是不能用于随时间变化的电场的（思考：为什么对于库仑定理、Gauss定理积分形式不能用于随时间变化的电场？注意电场的传播速度是有限的，存在推迟效应）三、静电场的旋度在静电场存在的空间选取一闭合回路L，考查电场（对这一回路）的环量rr.diQfE.di -134元80dl0srcosedldr4元。r39fdr4元8。1r2QQ_$d(-)4元8。2=0其中为与dl 的夹角。运用数学中的斯托克斯定理：对一矢量A有A·di=[[(V×A)·dS（S是以L为边界的1曲面，要求A在面S上是连续可微的），对于电场E，任选一回路L有fE.di =0 = {[(VxE)-dS=0注意到S具有任意性且可以任意缩小，故divE=VxE=0讨论：1).如果有一检验电荷q，则有qE·di=0，电场力做功为0，静电场是保守力-场。E·di=0和2).多点电荷的带电体系和连续分布的带电体，只要是静电场，LV×E=0均成立。6E.di=0是关于3).微分形式√×E=0是关于空间点的局域关系式，而一般地，L有限空间的关系式。4).对于静电场，在空间各点√×E=0表示电力线不能闭合（静电场是无旋场）。5).√×E=0和6E·di=0对于变化的电场是不成立的（后面要讲）。.LEx.P104

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律 4 般地讲，Gauss 定理的积分形式也是不能用于随时间变化的电场的（思考：为什么对于库仑 定理、Gauss 定理积分形式不能用于随时间变化的电场? 注意电场的传播速度是有限的，存 在推迟效应） 三、 静电场的旋度 在静电场存在的空间选取一闭合回路 L ，考查电场（对这一回路）的环量 0 ) 1 ( 4 4 cos 4 4 0 2 0 3 0 3 0 = = − = = ⋅ ⋅ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ L L L L L r d Q r Q dr r Q r dl r Q r dl E dl πε πε θ πε πε G G G G 其中θ 为r G 与 dl G 的夹角。 运用数学中的斯托克斯定理：对一矢量 A G 有 ∫ ∫∫ ⋅ = ∇ × ⋅ L S A dl A dS G G G G ( ) （ S G 是以 L 为边界的 曲面，要求 A G 在面 S G 上是连续可微的），对于电场 E G ，任选一回路 L 有 ⋅ = 0 ∫ L E dl G G ⇒ (∇ × )⋅ = 0 ∫∫ S E dS G G 注意到 S G 具有任意性且可以任意缩小，故 divE = ∇ × E = 0 G G 讨论：1). 如果有一检验电荷 q G ，则有 ⋅ = 0 ∫ L qE dl G G ，电场力做功为 0，静电场是保守力 场。 2). 多点电荷的带电体系和连续分布的带电体，只要是静电场， ⋅ = 0 ∫ L E dl G G 和 ∇ × E = 0 G 均成立。 3). 微分形式∇ × E = 0 G 是关于空间点的局域关系式，而一般地， ⋅ = 0 ∫ L E dl G G 是关于 有限空间的关系式。 4). 对于静电场，在空间各点∇ × E = 0 G 表示电力线不能闭合（静电场是无旋场）。 5). ∇ × E = 0 G 和 ⋅ = 0 ∫ L E dl G G 对于变化的电场是不成立的（后面要讲）。 Ex. P10

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律小结：1)静电场的求解：179E:对于分离分布的多点电荷系统4元。4P[p(r')rdvE=对于电荷连续分布系统14元80元以上是直接由电荷分布求解静。fE.ds_定理求解电场，此时一般需要带电系统具有另外，还可以采用GaussS60较高的对称性。2).静电场的性质：V.E-PVxE=080SE.dl=0E.as-dL2[Js60静电场是一矢量场，对于一个矢量场，其最基本的性质是矢量场的散度和旋度。静电场的旋度在空间各点为零，表明静电场是一个保守力场（电场力做功与路径无关），描述静电场的电力线是不能闭合的（注意电力线是假想的，是描述电场的辅助手段）。5

电动力学讲稿●第一章：电磁现象的普遍规律 5 小结： 1). 静电场的求解： 对于分离分布的多点电荷系统 = ∑ i i i i r Q r E 3 0 4 1 G G πε 对于电荷连续分布系统 ( ) ∫ ′ = v r r rdv E 3 4πε 0 ρ G G G 以上是直接由电荷分布求解静。 另外，还可以采用 Gauss 定理 0 ε Q E dS S ⋅ = ∫ G G 求解电场，此时一般需要带电系统具有 较高的对称性。 2). 静电场的性质： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ = ∇ ⋅ = ∫S Q E dS E ; ; 0 0 ε ε ρ K K K ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ = ∇ × = ∫ L E dl E 0 0 K K G 静电场是一矢量场，对于一个矢量场，其最基本的性质是矢量场的散度和旋度。静电场的 旋度在空间各点为零，表明静电场是一个保守力场（电场力做功与路径无关），描述静电场 的电力线是不能闭合的（注意电力线是假想的，是描述电场的辅助手段）