《电动力学》课程授课教案（讲义）第七章 带电粒子和电磁场的相互作用

第七章带电粒子和电磁场的相互作用87.1运动带电粒子的势和辐射电磁场1.运动带电粒子的势设带电荷g的粒子在t时刻位于处，以速度这运动，如图1-6-1所示公f-rMpq图1-6-1t时刻粒子的位置为，速度为下-引它在r处（P）点于t=t+时刻产生的标势和矢势分别为c1q(7.1.1)0(r, 1)= 4元s [A(r,1)=4og(7.1.2)4元 [R]式中R=--α(F-)(7.2.3)加上方括号表示是/=1-=时刻的值,即其中粒子的坐标”、速度都是/时c刻的值，它表明，带电粒子在距离为-引处产生势，需要经过一段时间-引。所以这标势和矢势都是推迟势，通常叫做李纳一维谢尔势。N=t-t=!C2.运动带电粒子的场设带电荷g的粒子在t时刻位于处，以速度和加速度a运动。则它在产处

第七章 带电粒子和电磁场的相互作用 §7.1 运动带电粒子的势和辐射电磁场 1. 运动带电粒子的势 设带电荷 q 的粒子在 t' 时刻位于 r'  处，以速度 v  运动，如图 1-6-1 所示。 q p r r r r v 图 1-6-1 t' 时刻粒子的位置为 r'  ，速度为 v  它在 r'  处（ P ）点于 c r r t t ' '   − = + 时刻产生的标势和矢势分别为 R q r t 4 0 1 ( , )   =  （7.1.1） R qv A r t      4 ( , ) 0 = （7.1.2） 式中 c v r r R r r ( ') '       − = − − （7.2.3） 加上方括号表示是 c r r t t | '| '   − = − 时刻的值，即其中粒子的坐标 r'  、速度 v  都是 t' 时 刻的值，它表明，带电粒子在距离为 | r r'|   − 处产生势，需要经过一段时间 c r r t t t | '| '   −  = − = 。所以这标势和矢势都是推迟势，通常叫做李纳一维谢尔势。 2. 运动带电粒子的场 设带电荷 q 的粒子在 t' 时刻位于 r'  处，以速度 v  和加速度 a  运动。则它在 r  处

[-”时刻产生的电磁场，可以把李纳一维谢尔势代入以下两式于1=1CaAE=-Vp-(7.1.4)at和H-IxA(7.1.5)oaA算出。注意：以上两式右边的√β，和√×A都是t时刻的值。算出的结果为atr-(-P)x(F-P_E-))xayCCE(r,1) =R3c'R34元80(7.1.6))x(F-r)a.(r-r)vx(r-r)+CRax(r-r)qH(r,t) =(7.1.7)R3C'R34元以上两式中的方括号表示其中的产、和ü都是/=1--引时刻的值。C3.自有场和辐射场由（7.1.6）（7.1.7）两式可见，运动带电粒子的电磁场由两部分叠加而成。部分与加速度a无关，叫做自有场；另一部分与加速度a有关，叫做辐射场-（1）自有场(1-7qE.(7.1.8)R34元509H.(7.1.9)R34元

于 c r r t t | '| '   − = + 时刻产生的电磁场，可以把李纳一维谢尔势代入以下两式 t A E   = − −    （7.1.4） 和 H A   =   0 1  （7.1.5） 算出。注意：以上两式右边的  ， t A    和 A   都是 t 时刻的值。算出的结果为              − −  − − + − − − − = 3 2 3 2 2 0 ) } | '| ) ( ') {( ' | '| (1 )( ' 4 ( , ) c R v a c r r r r r r R v c r r r r c v q E r t                 （7.1.6）              −  − +  − + −  − = 3 2 3 2 2 ( ') ( ') ( ') (1 ) ( ') 4 ( , ) c R a r r v r r CRa r r R v r r c v q H r t                （7.1.7） 以上两式中的方括号表示其中的 r'  、v  和 a  都是 c r r t t | '| '   − = − 时刻的值。 3. 自有场和辐射场 由（7.1.6）、（7.1.7）两式可见，运动带电粒子的电磁场由两部分叠加而成。 一部分与加速度 a  无关，叫做自有场；另一部分与加速度 a  有关，叫做辐射场。 （1）自有场             − − − − = 3 ) | '| (1 )( ' 4 2 2 0 R v c r r r r c v q ES         （7.1.8）             −  − = 3 2 2 (1 ) ( ') 4 R v r r c v q HS      （7.1.9）

这部分场的特点是：E，和H、都是与距离产-引的平方成反比。因此，场的能量主要集中在粒子附近，并随粒子一起运动，所以叫做自有场。自有场可由库仑场通过洛伦兹变换求出。（2）辐射场[(r-P")(f-r-)xa)qE.=(7.1.10 )4元60R3H =[a-(C-F)x(-F)+cRax(-)(7.1.11)R34元c2L这部分场的特点是：E、和H，都是与距离-的一次方成反比。因此，场的能量分布在较大的范围内，并由粒子所在处向外辐射，所以叫做辐射场

这部分场的特点是： ES  和 HS  都是与距离 | r r'|   − 的平方成反比。因此，场的 能量主要集中在粒子附近，并随粒子一起运动，所以叫做自有场。自有场可由库 仑场通过洛伦兹变换求出。 （2）辐射场              − −  − − = 3 0 ) } | '| ( ') {( ' 4 R v a c r r r r r r q Ea            （7.1.10）        −  − +  − = 2 3 ( ') ( ') ( ') 4 R a r r v r r cRa r r c q Ha            （7.1.11） 这部分场的特点是： ES  和 HS  都是与距离 | r r'|   − 的一次方成反比。因此，场的能 量分布在较大的范围内，并由粒子所在处向外辐射，所以叫做辐射场

87.2带电粒子加速运动时发出的辐射1、辐射场和能流密度带电荷g的粒子做加速运动时，它的辐射场（7.1.10）和（7.1.11）可化为e, x((e,)xa!qE.(7.2.1)4元6℃v.e,IF-PI(-H, =Eoce, xE.(7.2.2)式中P-P'(7.2.3 )e.[r-r代表（-7)方向上的单位量。辐射场的能流密度为e,xlleXTcq(7.2.4)S, =E, xH,=8ocEe, =IF-PP(_E16元80c3辐射场的能量密度为s.1(7.2.5)(E +μH)=EQa=2c2、辐射功率t'时刻，粒子在单位时间内辐射出的能量（辐射功率）为(×a)?q(7.2.6)P(t')6元6c?V(1

§7.2 带电粒子加速运动时发出的辐射 1、辐射场和能流密度 带电荷 q 的粒子做加速运动时，它的辐射场（7.1.10）和（7.1.11）可化为              − −  −  = 3 2 0 | '| (1 ) {( ) } 4 c v e r r a c v e e c q E r r r a            （7.2.1） a r Ea H ce    =  0  （7.2.2） 式中 | '| ' r r r r er      − − = （7.2.3） 代表 (r r')   − 方向上的单位矢量。 辐射场的能流密度为                  − −  −  =  = = r r r r a a a a r e c v e r r a c v e e c q S E H cE e            2 6 2 3 0 2 2 0 | '| (1 ) {( ) } 16   （7.2.4） 辐射场的能量密度为 c S E H E a a a a a  = + = = 2 0 2 0 2 0 ( ) 2 1     （7.2.5） 2、辐射功率 t' 时刻，粒子在单位时间内辐射出的能量（辐射功率）为 3 2 2 2 2 2 2 0 (1 ) ( ) 1 6 ( ') c v v a c a c q P t − −  =     （7.2.6）

3、三种特殊情况下的辐射（1）低速运动时的辐射当粒子运动的速度比光速小得多，即<<c时，（7.2.1）式中含有的项均可略去。这时辐射场可近似写成[e, x(é, xa)qE.=-(7.2.7)4元cF-引H. =Soce, ×E.(7.2.8)这时以g为原点，以a为极轴取球极坐标，如图1-6-2akverCe@O图1-6-2则有(7.2.9)é,x(é,xa)=asinQeg代入（7.2.7）式，然后与第四章s4.3的电偶极辐射场比较，可以看出，低速（V<<c）运动的带电粒子所发出的辐射，相当于电偶极矩为1p=-(7.2.10)0的振荡电偶极子发出的辐射。辐射的能流密度为q2[a’sin20S. =-(7.2.11)16元60℃F-P辐射功率为q'a?P(t') =(7.2.12)6元0c3

3、三种特殊情况下的辐射 （1）低速运动时的辐射 当粒子运动的速度比光速小得多，即 v  c 时，（7.2.1）式中含有 c v 的项均 可略去。这时辐射场可近似写成         −   = ' ( ) 4 2 0 r r e e a c q E r r a         （7.2.7） a r Ea H ce    =  0  （7.2.8） 这时以 q 为原点，以 a  为极轴取球极坐标，如图 1-6-2 Φ eθ er a 图 1-6-2 则有   e e a a e r r     (  ) = sin （7.2.9） 代入（7.2.7）式，然后与第四章§4.3 的电偶极辐射场比较，可以看出，低速 （ v  c ）运动的带电粒子所发出的辐射，相当于电偶极矩为 p qa   2 1  = − （7.2.10） 的振荡电偶极子发出的辐射。 辐射的能流密度为       − a = r e r r a c q S     2 2 3 0 2 2 | '| sin 2 16    （7.2.11） 辐射功率为 3 0 2 2 6 ( ') c q a P t  = （7.2.12）