《电动力学》课程授课教案（讲义）第五章 电磁波的辐射

第五章电磁波的辐射85.1电磁场的矢势和标势1.矢势和标势（1）矢势因为V.B=0，故存在矢势A，使得B=VxA(5.1.1)矢势A沿任一闭合环路L的线积分等于通过以L为边界的任意曲面S的磁通量，即fA.di - V×A.ds - {[B.ds =D(5.1.2)(2)标势由麦克斯韦方程组的×E+=0和（5.1.1）式得ataAVx(E+)CataA可见E+是无旋场，因此存在标势β，使得atEfA-V@at所以QAE=-Vo-(5.1.3 )at（3）用矢势和标势描述电磁场在宏观领域里，通常用E和B描述电磁场，有时为方便起见，也用矢势A和

第五章 电磁波的辐射 §5.1 电磁场的矢势和标势 1. 矢势和标势 （1）矢势 因为  B = 0  ，故存在矢势 A  ，使得 B A   =  （5.1.1） 矢势 A  沿任一闭合环路 L 的线积分等于通过以 L 为边界的任意曲面 S 的磁通 量，即   =   =   =  L S S A dl A dS B dS       (5.1.2) (2) 标势 由麦克斯韦方程组的 = 0    + t B E   和（5.1.1）式得 ( ) = 0    + t A E   可见 t A E   +   是无旋场，因此存在标势  ，使得 = −   + t A E   所以 t A E   = − −    （5.1.3） （3）用矢势和标势描述电磁场 在宏观领域里，通常用 E B   和 描述电磁场，有时为方便起见，也用矢势 A  和

标势β描述电磁场。在微观领域里（如在量子力学和量子场论中），通常都用A和β描述电磁场。2.规范变换（1）规范变换对于一个给定的电磁场，它的E和B都是确定的，但它的A和β却并不是确定的，而是有一定程度的任意性。设(r,)为有连续二级偏微商的任意函数，则当A=A+Vy(5.1.4)ayp=p-(5.1.5 )at时，A，g与A,所描述的是同一个电磁场。（5.1.4）式和（5.1.5）式通常叫做规范变换。（2）两种规范为了对矢势和标势的任意性加以限制，可根据方便，选择√·A为某个值。这叫做选择规范。（a）库仑规范V.A=0(5.1.6)（b）洛伦兹规范V.A--O0(5.1.7)at3.势的微分方程在真空中，由麦克斯韦方程和势的定义可推得VA-1OA4-(V.A++%)--HJ(5.1.8)c? at?c2at

标势  描述电磁场。在微观领域里（如在量子力学和量子场论中），通常都用 A  和  描述电磁场。 2. 规范变换 （1）规范变换 对于一个给定的电磁场，它的 E B   和 都是确定的，但它的 A  和  却并不是确 定的，而是有一定程度的任意性。设 (r,t)   为有连续二级偏微商的任意函数，则 当 A = A +    ' （5.1.4） t  = −    ' （5.1.5） 时， , , ' ' A A   与 所描述的是同一个电磁场。（5.1.4）式和（5.1.5）式通常叫做 规范变换。 （2）两种规范 为了对矢势和标势的任意性加以限制，可根据方便，选择 A   为某个值。 这叫做选择规范。 （a） 库仑规范  A = 0  （5.1.6） （b） 洛伦兹规范 c t A     = −  2  1 (5.1.7) 3. 势的微分方程 在真空中，由麦克斯韦方程和势的定义可推得 J c t A t A c A     2 2 0 2 2 2 ) 1 ( 1   = −   −    +    − （5.1.8）

a.V.A--P(5.1.9 )Vp+at6（1）选择库仑规范时，方程（5.1.8）和（5.1.9）式分别化为VA-104.1_0Vp=-μoj(5.1.10)catcatVp=-P(5.1.11)60这时，标势β与静电势相同，就是库仑势（2）选择洛伦兹规范时，方程（5.1.8）式和（5.1.9）式分别化为VA-10ACa=-j(5.1.12)0-1a0=-P(5.1.13)Vp-t60这时A和β满足相同的方程一一达朗伯方程，具有波动方程的形式，电流j是A的波源，电荷p是β的波源。在源区以外，矢势和标势都以波动形式在空间中传播

0 2      = −    + A t  （5.1.9） （1）选择库仑规范时，方程（5.1.8）和（5.1.9）式分别化为 J t c t A c A    2 2 0 2 2 2 1 1  = −   − −    − （5.1.10） 0 2     = − （5.1.11） 这时，标势  与静电势相同，就是库仑势。 （2）选择洛伦兹规范时，方程（5.1.8）式和（5.1.9）式分别化为 J t A c A    2 0 2 2 2 1 = −    − （5.1.12） 0 2 2 2 2 1     = −    − c t （5.1.13） 这时 A和  满足相同的方程——达朗伯方程，具有波动方程的形式，电流 J A   是 的 波源，电荷 是 的波源。在源区以外，矢势和标势都以波动形式在空间中传播

85.2推迟势设电荷和电流分布在体积V内，它们在处产生的势为rp(F,t-F-FV1(5.2.1)p(r,t) =dl4元80Ir-rJ(P,t-IF-FHorA(r,t)= 4(5.2.2 )dv4元F-r式中p和j分别表示e(i,t)-)时刻F-F!r'处t=tRA(F,)cp(:户的电荷密度和电流密度，参看图1-4-1。(5.2.1）和(5.2.2)两式表明，电荷和电流在距离为-引处产生势需要经过一段时间F-rt-1所以叫做推迟势。c1.振荡电流的推迟势和电磁场（1）振荡电流的推迟势若电流了是频率为の的振荡电流，即J(r,t)= J(r')e-iot(5.2.3 )则由前面的（5.2.2）式得出它所产生的推迟矢势为A(,t)=0[()e(-1-on)dv(5.2.4)4元：F-式中k=%。令A(F,1)=A(r")e-o",则

§5.2 推迟势 设电荷和电流分布在体积 V 内，它们在 r  处产生的势为  − − − = V dV r r c r r r t r t ' ' ' ' 0 | | ) | | ( , 4 1 ( , )           （5.2.1）  − − − = V dV r r c r r J r t A r t ' ' ' ' 0 ) | | ( , 4 ( , )           （5.2.2） 式中  和 J  分别表示 c r r r t t ' ' '    − 处 = − 时刻 的电荷密度和电流密 度，参看图 1-4-1。 （5.2.1）和（5.2.2） 两 式 表 明 ， 电 荷 和 电 流 在 距 离 为 ' r r   − 处 产 生 势 需 要 经 过 一 段 时 间 c r r t t ' '   − − = ，所以叫做推迟势。 1. 振荡电流的推迟势和电磁场 （1）振荡电流的推迟势 若电流 J  是频率为  的振荡电流，即 i t J r t J r e −  ( , ) = ( ) ' '    （5.2.3） 则由前面的（5.2.2）式得出它所产生的推迟矢势为 ' ' ( ) ' 0 ' ( ) 4 ( , ) dV r r J r e A r t V i k r r t  − = − −            （5.2.4） 式中 c k =  。令 i t A r t A r e −  ( , ) = ( ) ' '    ，则

A(r,1) = 0 [ (F")e*4F-7](5.2.5)dvF-r"4元（2）振荡电流外面的电磁场在振荡电流区域外面，j=0,p=0。这时，有了A，就可求出磁场B=VxA(5.2.6)再根据下式，便可求出电场E=cvxB(5.2.7 )0因此，这时只要知道矢势A，便可求出电磁场来。2.远区推迟势的多极展开设电流j(rt)=j(r")e-i分布在区域V内V的线度为l。如图1-4-2，在V内任取一点为坐标原点，这OFF-P时，r≤l。通常ra（波长）的地方叫做中区，把Fara>>>>/的地方叫做远区。图1-4-2在中区和远区，（5.2.5）式可展开为A(P)- 'oe () [- ke, -"-. av(5.2.8 )4元二是方向上的单位失量。式中e, =这个展开式可用多极矩表示如下：第一项为A0(P)= 4e av =-ioemr(5.2.9 )-p4元4元式中p.是系统的电偶极矩p=Pe-io的振幅，即

' ' ' 0 ' ( ) 4 ( , ) dV r r J r e A r t V ik r r  − = −           （5.2.5） （2）振荡电流外面的电磁场 在振荡电流区域外面， J = 0,  = 0  。这时，有了 A  ，就可求出磁场 B A   =  （5.2.6） 再根据下式，便可求出电场 B ic E   =   2 （5.2.7） 因此，这时只要知道矢势 A  ，便可求出电磁场来。 2. 远区推迟势的多极展开 设电流 i t J r t J r e −  ( , ) = ( ) ' '    分布在区域 V 内， V 的线度为 l 。如图 1-4-2，在 V 内任取一点为坐标原点，这 时， r  l ' 。通常 r   （波长） 的 地 方 叫 做 中 区 ， 把 r    l 的地方叫做远区。 在中区和远区，（5.2.5）式可 展开为   0 ' ' ( ) 1 4 ( ) J r ike r dV r e A r V r ik r  = −  −         （5.2.8） 式中 r r er   = 是 r  方向上的单位矢量。 这个展开式可用多极矩表示如下：第一项为 0 (0) 0 ' 0 4 4 ( ) p r i e dV r e A r ik r i r         = = − （5.2.9） 式中 0 p  是系统的电偶极矩 i t p p e −  = 0   的振幅，即