第二章?静电场82.1静电场的标势及其微分方程1、静电场的标势（1）静电场的基本方程V.D=p(2.1.1 )或f.D.ds=Q(2.1.2 )VxE=0(2.1.3 )或fE.dl =0(2.1.4)其中电荷o是封闭曲面S包住的自由电荷的代数和，p是自由电荷密度。（2）静电场的电势在静电场中，根据（2.1.3）式知道有势函数@存在，使得E=-V(2.1.5 )如果在无穷远处的电场强度为零，一般便选。=8为电势参考点，这时由上式得空间一点P(r)的电势为p(r)= ["E.dr(2.1.6)①点电荷的电势由库仑定律可得处（源点）的点电荷Q在产处（场点）产生的电势为0g()=二(2.1.7)4元起斤-②电势叠加原理分立的点电荷系所产生的电势为17.9p(r)=(2.1.8 )4元起
第二章 静电场 §2.1 静电场的标势及其微分方程 1、静电场的标势 （1）静电场的基本方程 D = （2.1.1） 或 = S D dS Q （2.1.2） E = 0 （2.1.3） 或 = L E dl 0 （2.1.4） 其中电荷 Q 是封闭曲面 S 包住的自由电荷的代数和， 是自由电荷密度。 （2）静电场的电势 在静电场中，根据（2.1.3）式知道有势函数 存在，使得 E = − （2.1.5） 如果在无穷远处的电场强度为零，一般便选 r0 = 为电势参考点，这时由上 式得空间一点 P(r) 的电势为 ( ) = r r E dr （2.1.6） ① 点电荷的电势 由库仑定律可得 ' r 处（源点）的点电荷 Q 在 r 处（场点）产生的电势为 ( ) ' 4 1 r r Q r − = （2.1.7） ② 电势叠加原理 分立的点电荷系所产生的电势为 ( ) − = i i i r r Q r ' 4 1 （2.1.8）
连续分布的电荷所产生的电势为o()=二[pv(2.1.9)4元-2、静电势所满足的微分方程和边值关系（1）电势的微分方程电势满足方程.(sVp)=-p(2.1.10)在均匀介质内，（2.1.10）式可化为Vp=-P(2.1.11)这个方程叫泊松方程。式中p是自由电荷密度。如果p=0则（2.1.11）式便化为拉普拉斯方程Vp=0(2.1.12)（2）电势的边值关系在介电常数不同的两种介质交界面上，电势?满足下列边值关系(2.1.13 )9=P2001 -8,002=0(2.1.14 )GanOn其中π是由介质1指向介质2的单位法向矢量，是交界面上的自由电荷面密度。如果介质1是导体，则以上两式分别化为9,=常量(2.1.15)02=-0和(2.1.16)62-on3、静电场能量电荷分布在区域V内，密度为p(），所具有的静电能量为
连续分布的电荷所产生的电势为 ( ) ( ) − = V r r r dV r ' ' 4 1 （2.1.9） 2、静电势所满足的微分方程和边值关系 （1）电势的微分方程 电势 满足方程 () = − （2.1.10） 在均匀介质内，（2.1.10）式可化为 = − 2 （2.1.11） 这个方程叫泊松方程。式中 是自由电荷密度。如果 = 0 则（2.1.11）式便化 为拉普拉斯方程 0 2 = （2.1.12） （2）电势的边值关系 在介电常数不同的两种介质交界面上，电势 满足下列边值关系 1 =2 （2.1.13） = − n n 2 2 1 1 （2.1.14） 其中 n 是由介质1指向介质2的单位法向矢量， 是交界面上的自由电荷面密度。 如果介质 1 是导体，则以上两式分别化为 1=常量 （2.1.15） 和 = − n 2 2 （2.1.16） 3、静电场能量 电荷分布在区域 V 内，密度为 (r) ，所具有的静电能量为
p(r)dv(2.1.17)W=-2J这能量分布在电场中，因此JE.DdV=W=-[cE?dv(2.1.17 )2J2.式中E是上述电荷所产生的电场，积分遍及E不为零的全部空间
W (r) (r)dV V = 2 1 （2.1.17） 这能量分布在电场中，因此 W E DdV E dV = = 2 2 1 2 1 （2.1.17） 式中 E 是上述电荷所产生的电场，积分遍及 E 不为零的全部空间
82.2唯一性定理静电学的基本问题是求出在所有边界上满足边值关系或给定边界条件的泊松方程的解。唯一性问题是讨论在什么条件下，解是唯一的。这点很重要，因为求解的方法不同，求出的解可能有不同的表达形式，有时要证明它们是同一解颇非易事；但如果这些解都满足相同的边界条件，则它们必定相同。其次，对于有些问题，可以根据经验提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确解。1.问题说明假定空间V可以分为若干个小区域V，每一小区域V,内都是充满均匀的，介电常数为s,的各向同性介质。设V内的自由电荷分布p()已知，则在V,内，电势满足泊松方程10, =--(2.2.1)0在两区域V和V，的交界面上，电势满足边值关系(2.2.1)0,=0jd(p)(2.2.1)ConOn2.唯一性定理设区域V内自由电荷的分布p()已知，在V的边界S上给定(i)电势s或do（即E,）（i）电势的法向导数an)
§2.2 唯一性定理 静电学的基本问题是求出在所有边界上满足边值关系或给定边界条件的泊 松方程的解。唯一性问题是讨论在什么条件下，解是唯一的。这点很重要，因为 求解的方法不同，求出的解可能有不同的表达形式，有时要证明它们是同一解颇 非易事；但如果这些解都满足相同的边界条件，则它们必定相同。其次，对于有 些问题，可以根据经验提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求 的条件，它就是该问题的唯一正确解。 1. 问题说明 假定空间 V 可以分为若干个小区域 Vi ，每一小区域 Vi 内都是充满均匀的，介 电常数为 i 的各向同性介质。设 V 内的自由电荷分布 (r) 已知，则在 Vi 内，电势 满足泊松方程 i i 2 1 = − （2.2.1） 在两区域 Vi 和 V j 的交界面上，电势满足边值关系 i = j （2.2.1） = n n j j i i （2.2.1） 2. 唯一性定理 设区域 V 内自由电荷的分布 (r) 已知，在 V 的边界 S 上给定 （i） 电势 S ， 或 （ii）电势的法向导数 n S （即 En ）
则V内的电场便唯一确定。3.有导体存在时的唯一性定理设区域V内有一些导体，给定导体之外的电荷分布p(），并给定（i）每个导体上的电势，或（ii）每个导体上的总电荷Q，，(ap）值，则V内的电场便唯一地确定。以及V的边界S上的βs或(on）s
则 V 内的电场便唯一确定。 3. 有导体存在时的唯一性定理 设区域 V 内有一些导体，给定导体之外的电荷分布 (r) ，并给定 （i）每个导体上的电势 i， 或 （ii）每个导体上的总电荷 Qi， 以及 V 的边界 S 上的 S 或 n S 值，则 V 内的电场便唯一地确定