《电动力学》课程授课教案（讲稿）第五章 电磁波的辐射

电动力学讲稿·第五章重电磁波的辐射第五章电磁波的辐射上一章研究了电磁波的传播问题。本章研究电磁波的辐射问题，通常运动电荷会向外辐射电磁波（如果电荷的运动具有加速度），在许多情况下，需要提高（或降低）电磁波辐射功率，这需要对辐射电磁波的体系进行专门设。.这是一专门的研究领域。天线辐射电磁波，电磁波对天线中流动的电流有作用，会改变电磁波的辐射，这是一个复杂的过程，无论任何电磁波问题，涉及天线和天线外两种不同的介质。$1电磁场的矢势和标势用势描述电磁场VxE=-aB(1)atVxi_OD+j(2)atV.D=p(3)V.B=0(4)引入矢势A，VxA=B(5)矢势A的物理意义：在任一时刻，A沿任一闭合回路的线积分等于该时刻通过回路的磁通量。将（5）代入（1）式得aAE+=0Vxat可以令E+ataAE=-Vp-(6)at1

电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 1 第五章 电磁波的辐射 上一章研究了电磁波的传播问题。 本章研究电磁波的辐射问题，通常运动电荷会向外辐射电磁波（如果电荷的运动具有 加速度），在许多情况下，需要提高（或降低）电磁波辐射功率，这需要对辐射电磁波的体 系进行专门设。.这是一专门的研究领域。 天线辐射电磁波，电磁波对天线中流动的电流有作用，会改变电磁波的辐射，这是一 个复杂的过程，无论任何电磁波问题，涉及天线和天线外两种不同的介质。 §1 电磁场的矢势和标势 一、 用势描述电磁场 t B E ∂ ∂ ∇ × = − K K （1） J t D H G K G + ∂ ∂ ∇ × = （2） ∇ ⋅ D = ρ K （3） ∇ ⋅ B = 0 G （4） 引入矢势 A G ， A B K G ∇ × = （5） 矢势 A G 的物理意义：在任一时刻， A G 沿任一闭合回路的线积分等于该时刻通过回路的磁通 量。 将（5）代入（1）式得 = 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∇ × + t A E K K 可以令 = −∇ϕ ∂ ∂ + t A E K K t A E ∂ ∂ = −∇ − K G ϕ （6）

电动力学讲稿●第五章电磁波的辐射讨论：1）是标量，仍可视为（标）势函数：2）一般情况下，β不仅与E有关，而且与磁场有关，它不再具有电势的物理意义。aA当=0时，只与E有关，且由（6）式at=V×E=0aAaB=VX0A由=0,==0，磁场不随时间而变，一般E也不随时间变化，此时的势atatat函数才有电势的意义。规范变换和规范不变性二、标势β和矢势A与电磁场的关系aAE=-Vp-at(7)B=VxA求解电磁场问题，转化为求解势函数的问题。但实际上，势函数(β,A)与场量(E,B）并不是一一对应的，如果作变换A=A'=A+Vy(8)ay'=p-D0at有V×A=VxA+Vx(Vy)=VxA=BaA'aA=-0+()aAa(Vy)=E-Vo'-Voatat(at)atat讨论：1）可见(β,A)与(E,B)不是一一对立的，由于的任意性，有多组(β,A)对应同一组(E,B），每组（,A）称为一种规范，（8）式称为规范变换。2）不同规范对应相同的观测量（E，B），即当势作规范变换时，所有物理量和物理规律保持不变——规范不变性。3）在量子论中，E和B并不能描述电磁场的全部物理属性。例如：在A-B效应中，在非2

电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 2 讨论： 1）ϕ 是标量，仍可视为（标）势函数； 2）一般情况下，ϕ 不仅与 E K 有关，而且与磁场有关，它不再具有电势的物理意义。 当 = 0 ∂ ∂ t A K 时，ϕ 只与 E K 有关，且由（6）式 ⇒ ∇ × E = 0 K 由 = 0 ∂ ∂ t A K ， = 0 ∂ ∂ = ∇ × ∂ ∂ ⇒ t A t B K K ，磁场不随时间而变，一般 E G 也不随时间变化，此时的势 函数才有电势的意义。 二、 规范变换和规范不变性 标势ϕ 和矢势 A G 与电磁场的关系 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∇ × ∂ ∂ = −∇ − B A t A E G K K G ϕ （7） 求解电磁场问题，转化为求解势函数的问题。 但实际上，势函数( , A ) G ϕ 与场量(E, B ) G G 并不是一一对应的，如果作变换 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ⇒ ′ = − ⇒ ′ = + ∇ t A A A ψ ϕ ϕ ϕ ψ G K K （8） 有 A A ( ) A B K K K K ∇ × ′ = ∇ × + ∇ × ∇ψ = ∇ × = ( ) E t A t t A t t A K K G G = ∂ ∂ = −∇ − ∂ ∂ ∇ − ∂ ∂ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = −∇ + ∇ ∂ ∂ − ∇ − ϕ ψ ψ ϕ ϕ ' ' 讨论： １）可见( , A ) G ϕ 与(E, B ) G G 不是一一对立的，由于ψ 的任意性，有多组( , A ) G ϕ 对应同一组 (E, B ) G G ，每组( , A ) G ϕ 称为一种规范，（8）式称为规范变换。 ２）不同规范对应相同的观测量（ E K , B K ），即当势作规范变换时，所有物理量和物理规律 保持不变——规范不变性。 3）在量子论中， E G 和 B G 并不能描述电磁场的全部物理属性。例如：在 A－B 效应中，在非

电动力学讲稿第五章电磁波的辐射单连通区域绕闭合回路一周的电子波函数的相位差由回路积分A·di描述，积分6A·dl是有实际意义的物理量，对矢势作规范变换fA-di -f(A+Vy).di=fA.di +fdy=fA.di即便是在量子力学中，可观测物理量仍保持不变性。说明：d-%dl=di-%d+%d+%dalaxaaytz关于规范不变性1）在经典电动力学，（p,A）的引入是为了给出电磁场的（一种辅助）描述方法，没有(p,A），（E,B）对电磁场的描述也是完全的，规范不变性是这种描述方法所具有的数学特征：在量子论中，（E,B）并不能描述电磁场的全部性质，（β，A）的地位也远比经典电动力学中重要的多，规范不变性是作为量子论的基本原理引入的，是一条重要的物理原理。2）在物理中，规范不变性是决定相互作用形式的一条重要规律，这不仅反映在电磁相互作用中，而且反映在强相互作用和弱相互作用中，传递这些相互作用的场也称为规范场，电磁场就是一种规范场。三、两种常用规范由（7）式E--Vo-01atB=VxA可见，只是通过B限制了矢量场A的旋度。只限制旋度，不能完全的确定矢量场，要确定矢量场，还必须规定失量场的散度。然而，上述式子未规定矢量场的散度，也就是矢量场的散度可以任意选取。对于每个选取的矢量场的散度，就确定了一组（，A），也就是对应势函数的一种规范。矢量场的散度具有人为任意性，适当地选取便于问题的描述（物理意义清楚）或解决（求解相对容易）。最常用的两种规范：1）库仑规范选择A的散度V.A=0(9)V.A=0意味着矢量场A是个无源场，无源场也称为横场（分析涡旋线）；在电场3

电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 3 单连通区域绕闭合回路一周的电子波函数的相位差由回路积分 ∫ A⋅ dl G G 描述，积分 ∫ A⋅ dl G G 是有实际意义的物理量，对矢势作规范变换 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ A⋅dl = A + ∇ ⋅ dl = A⋅ dl + d = A⋅ dl K K K K K K K K ' ( ψ) ψ 即便是在量子力学中，可观测物理量仍保持不变性。 说明： dz z dy y dx x dl dl l d ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ ⋅ = ∂ ∂ = ψ ψ ψ ψ ψ ψ K 。 关于规范不变性： 1） 在经典电动力学， ( , A ) G ϕ 的引入是为了给出电磁场的（一种辅助）描述方法，没有 ( , A ) G ϕ ，(E, B ) G G 对电磁场的描述也是完全的，规范不变性是这种描述方法所具有的数 学特征；在量子论中，(E, B ) G G 并不能描述电磁场的全部性质，( , A ) G ϕ 的地位也远比经 典电动力学中重要的多，规范不变性是作为量子论的基本原理引入的，是一条重要的物 理原理。 2） 在物理中，规范不变性是决定相互作用形式的一条重要规律，这不仅反映在电磁相互作 用中，而且反映在强相互作用和弱相互作用中，传递这些相互作用的场也称为规范场， 电磁场就是一种规范场。 三、 两种常用规范 由（7）式 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∇ × ∂ ∂ = −∇ − B A t A E G K K G ϕ 可见，只是通过 B G 限制了矢量场 A G 的旋度。只限制旋度，不能完全的确定矢量场，要确定 矢量场，还必须规定矢量场的散度。然而，上述式子未规定矢量场的散度，也就是矢量场的 散度可以任意选取。对于每个选取的矢量场的散度，就确定了一组( , A ) G ϕ ，也就是对应势 函数的一种规范。 矢量场的散度具有人为任意性，适当地选取便于问题的描述（物理意义清楚）或解决（求 解相对容易）。最常用的两种规范： 1） 库仑规范 选择 A G 的散度 ∇ ⋅ A = 0 K （9） ∇ ⋅ A = 0 K 意味着矢量场 A G 是个无源场，无源场也称为横场（分析涡旋线）；在电场

电动力学讲稿·第五章电磁波的辐射OAE=-VO-at中，-Vβ为无旋场（V×（-Vβ）=0），无旋场也称为纵场（分析点电荷的电力线）。可见，在库仑规范下，对于电场的描述分为两部分，横场部分完全由A描述，纵场部aA分完全由β描述。即：（-Vβ）对应库仑场（电荷激发的电场），（-）对应感应电场（变at化的磁场激发的电场）（例如：磁场变化，穿过闭合线圈的磁通量发生变化，线圈中有感应电场，其电力线闭合）。2）洛伦兹规范选择A的散度.A=-1，即c2atV.A+1-0(10)c2at在这种规范下，下面将看到，关于势的方程简化为很简单的对称的形式，对于处理问题特别方便。（9）和（10）式为人为加上的辅助条件，它们的引入，使得量场能够被确定，实现势函数(β，A)与场量(E,B）的对应，它们也分别称为库仑规范条件和洛伦兹规范条件。四、达朗贝尔方程势函数(gA)与场量(E,B）具有（7）式aAE=-Vp-at(8)B=VxA描述的关系。Maxwell方程是关于场量(E,B）的方程，由上式可得关于势函数（β,A）的方程，在真空中V×(V×A)=V×B=μV×HaE= μoJ + oHo Ia(-V0-A= μoJ + EoHo 司(-ata2A(V0)-E0H0 0r=HJ-8Moat又（P.343（I.25）式）×(V×A)= v(v. A)- ?A4

电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 4 t A E ∂ ∂ = −∇ − K G ϕ 中， − ∇ϕ 为无旋场（∇× (−∇ϕ) = 0 ），无旋场也称为纵场（分析点电荷的电力线）。 可见，在库仑规范下，对于电场的描述分为两部分，横场部分完全由 A G 描述，纵场部 分完全由ϕ 描述。即：（− ∇ϕ ）对应库仑场（电荷激发的电场），（ t A ∂ ∂ − K ）对应感应电场（变 化的磁场激发的电场）（例如：磁场变化，穿过闭合线圈的磁通量发生变化，线圈中有感应 电场，其电力线闭合）。 2） 洛伦兹规范 选择 A G 的散度 c t A ∂ ∂ ∇ ⋅ = − ϕ 2 K 1 ，即 0 1 2 = ∂ ∂ ∇ ⋅ + c t A K ϕ （10） 在这种规范下，下面将看到，关于势的方程简化为很简单的对称的形式．对于处理问题特别 方便。 （9）和（10）式为人为加上的辅助条件，它们的引入，使得矢量场能够被确定，实现 势函数( , A ) G ϕ 与场量(E, B ) G G 的对应，它们也分别称为库仑规范条件和洛伦兹规范条件。 四、 达朗贝尔方程 势函数( , A ) G ϕ 与场量(E, B ) G G 具有（7）式 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∇ × ∂ ∂ = −∇ − B A t A E G K K G ϕ （8） 描述的关系。Maxwell 方程是关于场量(E, B ) G G 的方程，由上式可得关于势函数( , A ) G ϕ 的方 程，在真空中 ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 t A t J t A t J t E J A B H ∂ ∂ ∇ − ∂ ∂ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∇ − ∂ ∂ = + ∂ ∂ = + ∇ × ∇ × = ∇ × = ∇ × K K K K K K K K G μ ε μ ϕ ε μ μ ε μ ϕ μ ε μ μ 又（P.343（I.25）式） ( A) ( A) A K K K 2 ∇× ∇× = ∇ ∇ ⋅ − ∇

电动力学讲稿●第五章电磁波的辐射1且800所以α?AOV(V.A)-V?A=μoJ-6oMo-(V0)-800at?Ot可得VA-102A(v.A+)=-μoJ(9)c? at?at又,aAE=-V0-at(v.A)V.E=-V?0-(10)at由于.E-，所以60%(v.A)=-PV?@+(11)at60（9）和（11）式给出势函数的运动方程（运动：随时间变化）VA-10A/v.A+10)=-μoJ?at?c2 at(12)%(v.A)=-PV0+at60它们的推导没有采用任何规范条件，适用于一般的规范。1）对于库仑规范[v--(0)-- catc? at?(13)Vp=-60特点是：标势能满足的方程与静电场相同，其解是库仑势2）对洛伦兹规范1 0p注意到V.A=，由（12）式c?atVA-102A=-μojc2at?(14)1@=-PVp-c?at?60特点是：矢势和标势满足相同的方程。上述方程称为达朗贝尔方程。5

电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 5 且 0 0 2 1 c ε μ = ，所以 ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 0 2 t A t A A J ∂ ∂ ∇ − ∂ ∂ ∇ ∇ ⋅ − ∇ = − K K K K μ ε μ ϕ ε μ 可得 J c t A t A c A K K K K 2 2 0 2 2 2 1 1 μ ϕ ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∇ ∇ ⋅ + ∂ ∂ ∇ − （9） 又， t A E ∂ ∂ = −∇ − K K ϕ ( A) t E K K ∇ ⋅ ∂ ∂ ⇒ ∇ ⋅ = −∇ ϕ − 2 （10） 由于 0 ε ρ ∇ ⋅ E = K ，所以 ( ) 0 2 ε ρ ϕ ∇ ⋅ = − ∂ ∂ ∇ + A t K （11） （9）和（11）式给出势函数的运动方程（运动：随时间变化） ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∇ ⋅ = − ∂ ∂ ∇ + ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∇ ∇ ⋅ + ∂ ∂ ∇ − 0 2 2 2 0 2 2 2 1 1 ε ρ ϕ μ ϕ A t J c t A t A c A K K K K K （12） 它们的推导没有采用任何规范条件，适用于一般的规范。 1） 对于库仑规范 ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∇ = − ∇ = − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∇ − 0 2 2 2 0 2 2 2 1 1 ε ρ ϕ ϕ μ J t c t A c A K K K （13） 特点是：标势能满足的方程与静电场相同，其解是库仑势． 2） 对洛伦兹规范 注意到 c t A ∂ ∂ ∇ ⋅ = − ϕ 2 K 1 ，由（12）式 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − ∂ ∂ ∇ − = − ∂ ∂ ∇ − 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 1 1 ε ϕ ρ ϕ μ c t J t A c A K K K （14） 特点是：矢势和标势满足相同的方程。上述方程称为达朗贝尔方程