《电动力学》课程授课教案（讲稿）第四章 电磁波的传播

电动力学讲稿●第四章电磁波的传播第四章电磁波的传播$1平面电磁波电磁场的波动方程Maxwell方程VxE=-aBatVx-OD+J,atV.D=PfV.B=0无电流和电荷分布时VxE=-aB(1)atVxA-OD(2)atV.D=0(3)V.B=0(4)在真空中物质方程(D=6,E(5)B=μH(6)由(2)式E_VxHat60可得OE1O1-x0B=—Vx(-VxE)VxVat?atMoat6060Collo11[v(v.E)-?司]×(V×E)=ColoCoMo所以a"EV?E-SMo(7)=0at?1

电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 1 第四章 电磁波的传播 §1 平面电磁波 一、 电磁场的波动方程 Maxwell 方程 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ = + ∂ ∂ ∇ × = ∂ ∂ ∇ × = − B 0 D J t D H t B E f f K K K K K K K ρ 无电流和电荷分布时 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ = ∂ ∂ ∇ × = ∂ ∂ ∇ × = − 0 (4) 0 (3) (2) (1) B D t D H t B E K K K K K K z 在真空中 物质方程 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = (6) (5) 0 0 B H D E K K K K μ ε 由（2）式 H t E K K = ∇ × ∂ ∂ 0 1 ε 可得 E [ ] ( ) E E B E t H t t E K K K K K K K 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 1 = − ∇ × ∇ × = − ∇ ∇ ⋅ − ∇ = ∇ × −∇ × ∂ ∂ = ∇ × ∂ ∂ = ∇× ∂ ∂ ε μ ε μ ε ε μ ε μ 所以 0 2 2 0 0 2 = ∂ ∂ ∇ − t E E K K ε μ （7）

电动力学讲稿●第四章电磁波的传播又，由（1）式aB=-V×Eat可得a?B-×(×)-Vxat?at60[v(v.B)- v?B]V×(V×B)= -1ooColo所以a2BV-B-S00=0(8)at?1令C:电磁场在真空中的波动方程VcoMoV2E-102E=0? at?(9)vB-1 02B= 0c? at?讨论：1）上述方程的解决定于边界条件，有多种形式的解2）所有电磁波（如无线电波、光波、X射线和射线等）在真空中都以光速c传播。3）光速c是最基本的物理参数量。（→电磁现象，G→万有引力，k→热现象，h→量子现象）在介质中考虑一定频率的电磁波射入介质内，束缚电荷在电场作用下作相同频率的振荡。极化强度P(0) = 60x.(0)E(0)一般，极化率（@）与の有关（讲述物理图象）。在线性介质中，[D(0) = 8(0)E(0)(10)[B(0) = μ(0)H(α)和μ随频率改变的现象称为介质的色散。注意：1）由于色散效应，在介质中没有形如（9）式的（一般性）波动方程（不能以sμu替换8A。）。2）对于非单一频率（非正弦变化）的电磁波，一般不再满足D()=6E()。2

电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 2 又，由（1）式 E t B K K = −∇ × ∂ ∂ 可得 ( ) ( ) B [ ] ( ) B B H t E t B K K K K K K 2 0 0 0 0 0 2 2 1 1 1 = − ∇ × ∇ × = − ∇ ∇ ⋅ − ∇ = −∇ × ∇ × ∂ ∂ = −∇ × ∂ ∂ ε μ ε μ ε 所以 0 2 2 0 0 2 = ∂ ∂ ∇ − t B B K K ε μ （8） 令 0 0 1 ε μ c = ，电磁场在真空中的波动方程 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ ∇ − = ∂ ∂ ∇ − ⇒ 0 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 B c t B E c t E K K K K （9） 讨论： 1）上述方程的解决定于边界条件，有多种形式的解 2）所有电磁波（如无线电波、光波、X 射线和γ 射线等）在真空中都以光速c 传播。 3）光速c 是最基本的物理参数量。（c → 电磁现象，G → 万有引力，k → 热现象，h → 量 子现象） z 在介质中 考虑一定频率的电磁波射入介质内，束缚电荷在电场作用下作相同频率的振荡。极化 强度 ( ) ( ) ( ) P ω ε 0χ e ω E ω G G = 一般，极化率 χ (ω) e 与ω 有关（讲述物理图象）。 在线性介质中， ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ω μ ω ω ω ε ω ω B H D E G G G G （10） ε 和 μ 随频率改变的现象称为介质的色散。 注意： 1）由于色散效应，在介质中没有形如（9）式的（一般性）波动方程（不能以εμ 替换 0μ 0 ε ）。 2）对于非单一频率（非正弦变化）的电磁波，一般不再满足 D(t) = εE(t)

电动力学讲稿●第四章电磁波的传播二、 时谐电磁波时谐：（电场和磁场）随时间作谐振变化。时谐电磁波即是单一频率（单色）电磁波。。为什么要研究时谐电磁波？1）许多实际情况（无线电广播、通讯中的载波、激光器辐射的光束等）可近似作为单一频率电磁波：2）一般情况下，可作Fourier频谱分析，电磁波可分解为不同的频率的单色波的叠加。可以对各成份进行分析处理。·时谐电磁波满足的方程时谐电磁波的复数形式[E(x,t) = E()e-iot(11)[B(x,t)= B(x)e-tot单一频率的电磁波满足a2V?E-E=0eat?a?B=0at2将（11）式代入上式，可得Helmholtz方程(V?E+k?E=0(12)=/v?B+kB=0其中k=wue(13)注意：1）Helmholtz方程中的E和B仅是电场和磁场的空间部分：2）对某一频率，Helmholtz方程一般有多种电磁波解，每种解称为一种波模。.E与B的关系VxE=-OB=ioBatIVXE=1=B=-VHEVxE(14)0aDVxA=-ioD=-icoEatii→E=V×B=V×B(15)ekJue时谐电磁波仍然要满足3

电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 3 二、 时谐电磁波 时谐：（电场和磁场）随时间作谐振变化。时谐电磁波即是单一频率（单色）电磁波。 z 为什么要研究时谐电磁波？ 1）许多实际情况（无线电广播、通讯中的载波、激光器辐射的光束等）可近似作为单一频 率电磁波； 2）一般情况下，可作 Fourier 频谱分析，电磁波可分解为不同的频率的单色波的叠加。可以 对各成份进行分析处理。 z 时谐电磁波满足的方程 时谐电磁波的复数形式 ( ) () ⎪⎩ ( ) () ⎪ ⎨ ⎧ = = − − i t i t B x t B x e E x t E x e ω ω K K K K K K K K , , （11） 单一频率的电磁波满足 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ ∇ − = ∂ ∂ ∇ − 0 0 2 2 2 2 2 2 B t B E t E K K K K εμ εμ 将（11）式代入上式，可得 Helmholtz 方程 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∇ + = ∇ + = ⇒ 0 0 2 2 2 2 B k B E k E K K K K （12） 其中 k = ω με （13） 注意： 1） Helmholtz 方程中的 E G 和 B G 仅是电场和磁场的空间部分； 2） 对某一频率，Helmholtz 方程一般有多种电磁波解，每种解称为一种波模。 z E K 与 B K 的关系 i B t B E K K K = ω ∂ ∂ ∇ × = − E k i E i B K K K ⇒ = − ∇ × = − με∇ × ω （14） i D i E t D H K G K K = − ω = − εω ∂ ∂ ∇ × = B k i B i E K K K ⇒ = ∇ × = ∇× ωεμ με （15） 时谐电磁波仍然要满足

电动力学讲稿●第四章电磁波的传播(v.E=0(16)[v.B=0上述（14）、（15）和（16）式，即是时谐（单色）电磁波的Maxwell方程。三、平面电磁波Helmholtz方程最简单的情形是：E和B与y、无关，只与x有关。以电场强度为例d?E+k?E=0-dx?它的一个解为E-Eoeikt(17)注意上述E仅是电场强度的空间部分，考虑时间部分，则应为E = Ee (kr-ar)(18)讨论：1）ei(kx-)称为相位因子，上述电磁波当x相同时，在同一时刻t，相位(x-t)相同，即相位相同的点（等相面、波阵面）与x轴正交：2）V.E=ike,E=0，E的方向与k垂直；四、平面电磁波的特征在电磁波的复数形式（11）中，有实际意义的是E的实数部分E(x,t)= Ecos(kx - ot)ot当t=0时，x=0平面处于波峰；经过t时间，波峰移到kx-のt=0处，即x=，处，Tdx_0波峰移动速度，这即是等相面移动速度一相速。dt -k相速102:kVe1在真空中的相速为光速：C:VuE1c.在介质中的相速：VusVu,e,4

电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 4 ⎩ ⎨ ⎧ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ = 0 0 B E K K （16） 上述（14）、（15）和（16）式，即是时谐（单色）电磁波的 Maxwell 方程。 三、 平面电磁波 Helmholtz 方程最简单的情形是： E K 和 B K 与 y 、 z 无关，只与 x 有关。 以电场强度为例 0 2 2 2 ⇒ E + k E = dx d K K 它的一个解为 ikx E E e0 K K = （17） 注意上述 E G 仅是电场强度的空间部分，考虑时间部分，则应为 i( ) kx t E E e −ω = 0 K K （18） 讨论： 1） i( ) k x t e −ω 称为相位因子，上述电磁波当 x 相同时，在同一时刻t ，相位(kx −ωt)相同，即 相位相同的点（等相面、波阵面）与 x 轴正交； 2）∇ ⋅ E = ikex ⋅ E = 0 K G K ， E K 的方向与 k K 垂直； 四、 平面电磁波的特征 在电磁波的复数形式（11）中，有实际意义的是 E K 的实数部分 E(x,t) = E cos(kx −ωt) 0 K K K 当t = 0 时，x = 0平面处于波峰；经过t 时间，波峰移到 kx −ωt = 0 处，即 k t x ω = 处， 波峰移动速度， dt k dx ω = ，这即是等相面移动速度——相速。 相速 με ω 1 = = k v z 在真空中的相速为光速： 0 0 1 μ ε c = z 在介质中的相速： r r c v με μ ε = = 1

电动力学讲稿●第四章电磁波的传播显然，相速v与の有关，有色散现象（不同颜色的光，相速度不同一→光的折射）。电磁波并不沿x轴方向传播时4ZE(x,t)= E,expi(k.x-ot)PK=1行考虑面S(LK)上一点P，其相位Yp=k.x-otS由此可知，S面上各点β相等。所以，等相面工k。等相面移动方向→K方向→电磁波的传播方向。以x表投影（沿k方向），则=kr-のt。相邻波峰之空间距离记为，在同一时刻Ap = kAr'元=k=2元／2元=k由V.E=E.Ve(ki-ot)=ik.E=0所以Elk(19)E可在垂直于K的任意方向上振荡。E的取向称为偏振方向。可规定两个相互垂直的方向为基本方向，任意方向的偏振方向可沿两个基本方向分解。上述推导对B亦适用。亦即对于B，也有上述类似结论。又B=--vE=--vx[E。expi(k.x-ot)]00二[expi(--o1)]xE。 =-[k expi(k-x-o)]xE(×E)-E×E=/μ×E=/AOn×E00E和B的关系5

电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 5 显然，相速v 与ω 有关，有色散现象（不同颜色的光，相速度不同→光的折射）。 电磁波并不沿 x 轴方向传播时 ( ) , exp ( ) 0 E x t = E i k ⋅ x −ωt K K K K G k = ω με 考虑面 S( k ) K ⊥ 上一点 P ，其相位 ϕ = k ⋅ x −ωt K K 由此可知，S 面上各点ϕ 相等。所以， 等相面 k K ⊥ 。 等相面移动方向 k K → 方向→电磁波的传播方向。 以 x' 表投影（沿 k K 方向），则ϕ = kx'−ωt 。相邻波峰之空间距离记为λ ，在同一时刻 Δϕ = kΔx' 2π = kλ λ ⇒ k = 2π 由 ( ) 0 ∇ ⋅ = 0 ⋅∇ = ⋅ = ⋅ − E E e ik E i k x t K K K K K K ω 所以 E k K K ⊥ （19） E K 可在垂直于 k K 的任意方向上振荡。 E K 的取向称为偏振方向。可规定两个相互垂直的 方向为基本方向，任意方向的偏振方向可沿两个基本方向分解。 上述推导对 B K 亦适用。亦即对于 B K ，也有上述类似结论。 又 [ ( )] [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) E n E k k E k ik E i ik i k x t E i i k x t E i E i k x t i E i B K K K K K K K K K K K K K K K K K K K = − × = × = × = × = − ∇ ⋅ − × = − ⋅ − × = − ∇ × = − ∇ × ⋅ − μω μω ω ω ω ω ω ω ω ω ω 0 0 0 exp exp exp E K 和 B K 的关系