§9.7向量到子空闻的距离最小二乘积
1 一. 向量到子空间的距离 二. 最小二乘法
.向量到子空间的距离 1.向量间的距离 (1)定义:长度a-月称为向量a和β的距离,记为 (a,月) (2)基本性质 ①a(a,B)=d(6,a) ②(a,B)≥0,并且仅当a=F的等号才成立; ③(三角形不等式)a(a,B)≤a(a,y)+l(y,B)
2 一. 向量到子空间的距离 1. 向量间的距离 (1) 定义：长度 − 称为向量 和 的距离，记为 d ( , .) (2) 基本性质 ① d d ( , , ) = ( ) ② d ( , 0, ) 并且仅当 的等号才成立； ③（三角形不等式） = d d d ( , , , . ) + ( ) ( )
2向量到子空间的距离 (1)固定向量a,如果与子空间w每个向量垂直, 称a垂直于子空间W记a⊥W. 如果W=L(a1,a2,…a),则 a⊥W兮a⊥a1,=1,2,…,k (2)向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短 B2P如图示意,对给定B,设y是W中 的满足B-y⊥W的向量,要证明
3 (1) 固定向量 ，如果与子空间 中每个向量垂直， 2.向量到子空间的距离 W 称 垂直于子空间 记 W W ⊥ W . 如果 W L = ( , , , ), 1 2 k 则 , 1,2, , . ⊥ ⊥ = W i k i (2) 向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短. − − − 的满足 的向量，要证明 如图示意，对给定 ，设 是 中 − ⊥ W
对vδ∈W有B-y≤B-8 证明:B-0=(B-)+(y-6)因子空间, y∈W,∈W,则y-6∈W,故β-y⊥y-δ 由勾股定理|-y2+y-8}=|B-a 即(1)成立 最小二乘法 1.问题提出,实系数线性方程组
4 对 W 有 − − （1） 证明： 因 是子空间， 由勾股定理 − = − + − ( ) ( ), W W W , , 则 − W , 故 − ⊥ − 2 2 2 − + − = − 即（1）成立. 二. 最小二乘法 1.问题提出，实系数线性方程组
Ax=b4=()eR,b=[h,l,…,](2) 可能无解,即任意x1,x2…,xn都可能使 ∑(anx+a12+…+anxn-b) (3) 不等于零,设法找实数组x,x,…,x使(3)最小 这样的x,x…,x为方程组(2)的最小三乘解, 此问题叫最小二乘法问题
5 ( ) 1 2 , , , , , n s AX b A a R b b b b ij n = = = （2） 可能无解，即任意 x x x 1 2 , , , n 都可能使 ( ) 2 1 1 2 2 1 n i i in n i i a x a x a x b = + + + − （3） 不等于零，设法找实数组 2 使（3）最小 0 0 0 1 , , , n x x x 这样的 2 为方程组（2）的最小二乘解， 0 0 0 1 , , , n x x x 此问题叫最小二乘法问题