证:若f(x)、g(x洧一为0,如g(x)=0,则f(x) 就是一个最大公因式.且f(x)=1·f(x)+0·g(x 考虑一般情形:∫(x)≠0,g(x)≠0, 用g(x)除∫(x)得: f(x)=q1(x)g(x)+r1(x) 其中O(r1(x)<O(8(x)或r1(x)=0 若r(x)≠0,用r1(x)除g(x),得: g(x)=q2(x)r1(x)+r2(x)
若 f x g x ( ) ( ) 、 有一为0，如 g x( ) 0 = ，则 f x( ) 就是一个最大公因式．且 f x f x g x ( ) 1 ( ) 0 ( ). = + 考虑一般情形： f x g x ( ) 0, ( ) 0, 用 g x( ) 除 f x( ) 得： 1 1 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 其中 ( ( )) ( ( )) r x g x 1 或 r x 1 ( ) 0 = . 2 1 2 g x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 若 r x 1 ( ) 0 ，用 r x 1 ( ) 除 g x( ) ，得： 证：
其中a(z(x)<O(71(x)或2(x)=0 若2(x)≠0,用r2(x)除r1(x),得 r1(x)=q3(x)2(x)+F3(x), 如此辗转下去,显然,所得余式的次数不断降低, 即O(g(x)>(1(x)>O(72(x))>… 因此,有限次后,必然有余式为0.设 (x)=0 于是我们有一串等式
若 r x 2 ( ) 0 ，用 r x 2 ( ) 除 r x 1 ( ) ，得 1 3 2 3 r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低， 因此，有限次后，必然有余式为0．设 1 ( ) 0. s r x + = 其中 ( ( )) ( ( )) r x r x 2 1 或 r x 2 ( ) 0 = ． …… 1 2 即 ( ( )) ( ( )) ( ( )) g x r x r x …… 于是我们有一串等式
f(x)=q1(x)g(x)+r1(x) g(x)=q2(x)(x)+r2(x) r1(x)=q3(x)2(x)+(x) ●●●●●●●●●●●●●●● F2(x)=;(x)r1(x)+r(x) x)+rx (x)=q、(x)r、-1(x)+r(x) 1(x)=qs+1(x)r(x)+0
2 1 2 g x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 1 3 2 3 r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + ……………… ……………… i 2 i i-1 i r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) − = + s 3 s 1 s 2 s 1 r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − = + s 2 s s 1 s r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) − − = + s 1 s 1 s r x q x r x ( ) ( ) ( ) 0 − + = + 1 1 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = +