第三节函数的极限函数极限的定义函数极限的性质■小结思考题
第三节 函数的极限 ◼ 函数极限的定义 ◼ 函数极限的性质 ◼ 小结 思考题
函数极限的定义1.函数在无穷远点的极限设对充分大的x，函数f(x)处处有定义如果随着x的无限增大,相应的函数,f(x)就无限接近某一常数A.由此可引入函数在无穷远处的极限概念x趋向于正无穷x→+8x趋向于负无穷x→-0x趋向于无穷x→8表示x,一x,lx无限增大的过程
1.函数在无穷远点的极限 设对充分大的x, 函数 f ( x) 处处有定义. 如果随着x的无限增大,相应的函数 f ( x) 就 无限接近某一常数 A. 由此可引入函数在无 穷远处的极限概念. x → + x → − x → 表示 − x, 无限增大的过程. x 趋向于负无穷 x 趋向于无穷 x 趋向于正无穷 x, | x | 一、函数极限的定义
函数极限的定义1.自变量趋于有限值时函数的极限考虑x→xo 时函数极限的定义测量正方形面积.(真值：边长为xo;面积为A）引例直接观测值确定直接观测值精度S：边长xx-xo<任给精度ε,要求x2-A间接观测值面积 x2
一、函数极限的定义 1.自变量趋于有限值时函数的极限 考虑 时函数极限的定义 引例 测量正方形面积. (真值: 边长为 面积为A ) 边长 面积 直接观测值 间接观测值 任给精度 , 要求 x − A 2 确定直接观测值精度 : x − x0
定义1（ε-）设函数f(x)在点xo某去心邻域内有定义.若>0,>0,使当0x-xl时,恒有f(x)-A<ε则称x→x,时函数f(x)有极限A,记作lim f(x) = A, 或 f(x)→A(x →x)x→xo即lim f(x)=AV>0,3S>0,当 xU(xo,S)x→>xo时,有|f(x)-A<8
若 0, 定义1 ( − ) 设函数 有定义. 0, 0 , 使当 x − x0 时 f (x) − A ( ) , 则称x → x0 时函数f x 有极限A lim ( ) , 0 f x A x x = → 记作 ( ) ( ). x A x x0 或 f → → 恒有 f (x) 在点x0某去心邻域内 即 当 时, 有
注(1)定义中的 0<x-x表示x≠xo所以x →x,时,f(x)有没有极限与f(x)在点xo是否有定义并无关系(2)定义中S标志x接近xo的程度,它与8有关.一般地说，6越小，也将越小，(3)不要求最大的S，只要求S存在即可
注 (1) 定义中的 0 x − x0 所以 , x → x0时 f (x)有没有极限与f (x)在点x0 是否有定义并无关系. (2) 定义中 标志 x 接近 x0 的程度, 也将越小. (3) 不要求最大的 , , 表示 x x0 它与 一般地说, 越小, 只要求 存在即可. 有关