《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第二章 导数与微分 2-02 第二节 函数的求导法则

第二节函数的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则基本求导法则与导数公式小结思考题

◼ 函数的和、差、积、商的求导法则 ◼ 小结 思考题 ◼ 反函数的求导法则 ◼ 基本求导法则与导数公式 ◼ 复合函数的求导法则 第二节 函数的求导法则

一、函数和、差、积、商的求导法则定理1如果函数u(x),v(x)在点x处可导则它们的线性组合、积、商在点x处也可导并且(1)[αu(x)+ βv(x)'= αu'(x)+ βv(x); α,βe R.(2) [u(x) ·v(x)' = u'(x)v(x)+u(x)(x);u'(x)v(x)Ou(x)v'(x)u(x)(3)(v(x) ± 0).v?(x)x

定理1 如果函数u( x) , v( x)在 点 x处可导, (1)[u( x) +  v( x)] = 并且 则它们的线性组合、积、商在点 x处也可导, u ( x) +  v ( x); (2)[u( x) v( x)] = u( x)v( x) + u( x)v( x) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u  x v x − u x v  x (v( x)  0). ,  R. 一、函数和、差、积、商的求导法则 =        ( ) ( ) (3) v x u x

(1) [cu(x)+ βv(x)l' = u'(x)+ βv'(x);α, β e R证设 f(x)= αu(x)+ βv(x),则由导数的定义有f(x+h)- f(x)f'(x) = limhh→>0[αu(x + h) + βv(x + h)]-[αu(x) + βv(x)]= limhh->0α[u(x + h) -u(x)]+β[v(x + h) -v(x)]= limhh-→>0v(x+h)-v(x)u(x +h)-u(x)+ lim = limαThhh→>0h-→0= cu'(x) + βv'(x)

证 则由导数的定义有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  = → h u x h u x h ( ) ( ) lim 0 + − = →  h v x h v x h ( ) ( ) lim 0 + − + →  = u ( x) + v ( x). (1)[u( x) + v( x)] = u ( x) + v ( x);,  R. 设 f (x) = u( x) + v( x), h u x h v x h u x v x h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0  + +  + −  +  = → 0 lim → = h h [u(x + h) − u(x)] + [v(x + h) − v(x)]

u'(x)v(x)-u(x)v'(x)u(x)(v(x) ± 0)v(x)v?(x)证设V=则u=yv!由乘积的导数：(2) [u(x) · v(x))' =u'(x)v(x) +u(x)v(x):得u'=yv+yv',故V(v±0)VDv'(x特别即2 (x(x)1

=        ( ) ( ) v x u x ( ( ) 0). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2   −  v x v x u x v x u x v x , v u 证 设 y = 则u = yv. (2)[u( x) v( x)] =u( x)v( x) + u( x)v( x) ; 由乘积的导数: 得 u = 故 v u yv y  −   = v v v u u −  = ( 0) 2   −  = v v u v uv y  v + yv , 特别 =        ( ) 1 v x ( ) ( ) 2 v x − v x . 2 v u v uv v u  −  =        即

则u+v+w推论若u、V、w在点x处均可导uvw在同一点x处也可导且(u+v+ w) = u' +y' +w'(uvw) = u'vw + u'w + uvw

推论 若 u 、 v 、 w在点x处均可导, ( ) = u + v + w ( ) = uvw 则u+ v + w , uvw在同一点x处也可导, 且 v  + w uvw + uvw u + uvw +