第五节函数的极值与最大值最小值函数的极值及其求法映射1最大值最小值问题■小结思考题
第五节 函数的极值与最大值最小值 ◼ 函数的极值及其求法映射 ◼ 最大值最小值问题 ◼ 小结 思考题
一、函数的极值及其求法1.函数极值的定义定义 若在x,的某邻域内恒有f(x)< f(x) (或f(x)> f(x)则称f(x)为函数f(x)的一个极大值(或极小值)函数的极大值与极小值统称为极值使函数取得极值的点xo(自变量）称为极值点
定义 , 若在x0 的某邻域内( ( ) ( )), 0 或f x f x 则称f (x0 )为函数f (x)的一个 ( ) ( ) 0 f x f x 极大值 (或极小值), 函数的极大值与极小值统称为极值. 极值点. 恒有 一、函数的极值及其求法 使函数取得极值的点x0 (自变量)称为 1. 函数极值的定义
函数的极大值、极小值只是一点附近的最大值与最小值，是局部性的.在一个区间内，函数可能存在许多个极值,有的极小值可能大于某个极大值Vy= f(x)O1XsaX2X6bxiX3Xx
x1 x2 x3 x4 x5 x6 函数的极大值、极小值 是局部性的.在一个区间内, 函数可能存在许多个极值, 最大值与最小值, 有的极小值可能大 于某个极大值. 只是一点附近的 • • • • x y a O b y = f (x) • •
使导数f'(x)为零的点2.极值的必要条件叫做函数f(x)的驻点费马引理如果函数 f(x)在x处可导且f(x)在x.处取得极值,那么f(x)=0.定理1(必要条件)如果函数f(x)在点x,处取得极值,且在x处可导,则必有f'(x)=0.注(1)可导函数的极值点必是驻点，但函数的y=x3驻点却不一定是极值点V如,y=x,x=o = 0,x但x=0不是极值点
定理1(必要条件) 注 如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但x = 0不是极值点. (1) 如果函数f (x)在点x0处取得 , 且在x0处可导 ( ) ( ) f x f x 使导数 为零的点 叫做函数 的 驻点. 可导函数的极值点 驻点却不一定是极值点. 必是驻点, 但函数的 那么 ( ) 0. 极值, 则必有f x0 = 3 y = x x y O • 费马引理 如果函数 f (x)在x0处 可导, 0 且f (x)在x 处取得极值, ( ) 0. 0 f x = 2. 极值的必要条件
(2)极值点也可能是导数不存在的点Vy=/x?如，=x2，x=0是极小值点.但=x2在x=0不可导Ox怎样从驻点中与导数不存在的点判断一点是不是极值点几何上,若xo是连续函数f(x)单增、单减的分界点，则xo必为极值点
x y O 3 2 y = x 极值点也可能是导数不存在的点. 如, , 3 2 y = x 3 2 但 y = x 怎样从驻点中与导数不存在的点判断一点 单减的分界点, (2) 不可导. x = 0 是极小值点. 是不是极值点 若 x0 是连续函数 f(x) 单增、 则 x0必为极值点. 几何上, • 在x = 0