第六节函数图形的描绘渐近线(asymptotic line)图形描绘的步骤■作图举例■小结思考题
第六节 函数图形的描绘 ◼ 渐近线(asymptotic line) ◼ 图形描绘的步骤 ◼ 作图举例 ◼ 小结 思考题
渐近线一！定义当曲线y=f(x)上的一动点P沿着曲线移向无穷点时如果点P到某定直线L的距离趋向于零，那么直线L就称为曲线y=f(x)的一条渐近线1.铅直渐近线(垂直于x轴的渐近线）如果lim f(x) = o0 或 lim_f(x)= 00x→xx-→x那么x=x,就是y=f(α)的一条铅直渐近线11如y=lim8(x + 2)(x - 3)x=-2 (x + 2)(x -3)1=8lim铅直渐近线：x=-2，x=3.x=3 (x + 2)(x - 3)
定义 当曲线y = f (x)上的一动点P沿着曲线 1. 铅直渐近线 如果 移向无穷点时, 如果点P 到某定直线L的距离 趋向于零, 那么直线L就称为曲线y = f (x)的 那么 → + 0 x x 0 x = x 就是y = f (x)的一条 一、渐近线 铅直渐近线. lim f (x) = 或 lim f (x) = → − 0 x x 一条渐近线. 如 , ( 2)( 3) 1 + − = x x y 铅直渐近线: x = −2, ( 2)( 3) 1 lim x→−2 x + x − ( 2)( 3) 1 lim x→3 x + x − x = 3. = = (垂直于x轴的渐近线)
(平行于x轴的渐近线)2.水平渐近线如果limf(x)=b 或lim_f(x)=b(b为常数)x→+80r那么y=b就是y=f(x)的一条水平渐近线如 y=arctanx,元元lim arctanx =lim arctanx :22x→+x-→-0元元水平渐近线：y=22
2. 水平渐近线 如 y = arctanx, 水平渐近线: , 2 y = = →+ x x lim arctan = →− x x lim arctan 那么 . 2 y = − y = b就是 y = f (x)的一条 水平渐近线. x → − b (b为常数) 2 2 − (平行于x轴的渐近线) 如果lim f (x) = x → + b 或 lim f (x) =
3.斜渐近线如果 lim[f(x)-(ax+b))=0 (a,b为常数,且a ≠ 0)(1x士8那么=@x+b就是=f(x)的一条斜渐近线下面求计算a,b的公式：由(1)式和x为无穷大, 有 lim =[f(x)-(ax+b)=0x→±00Xhf(x)(x)即 lim1=lima=0x→±8x→>±8xxxf(x)从而a= lim求出a后,将a代入(1)式可确定bX→±0xb = lim [f(x)-ax]X→±8
3. 斜渐近线 下面求计算a,b的公式: 由(1)式和 [ ( ) ( )] 0 1 lim − + = → f x ax b x x x为无穷大, − − = → ] ( ) lim [ x b a x f x x 求出a后, b lim [ f (x) ax] x = − → x f x a x ( ) lim → = 那么 − = → a x f x x ( ) lim 0 将a代入(1)式可确定b, y = ax + b 就是 y = f (x)的一条 斜渐近线. 有 即 从而 lim [ ( ) − ( + )] = 0 → f x ax b x 如果 (a,b 为常数 ,且a 0) (1)
f(x)=lim[(x)-(xllima=注如果→士8→士8f(x)不存在lim(1)x-→±8xf(x)(2) lima存在,但 lim [f(x)一ax]不存在x-→±8x>to可以断定=f(x)不存在斜渐近线2(x - 2)(x + 3)的渐近线。例1 求f(x)=x-1解 定义域(-80,1)U(1,+8)。: lim f(x)= 00,x-→1x=1是曲线的铅直渐近线
; ( ) (1) lim 不存在 x f x x→ , ( ) (2) lim a 存在 x f x x = → 可以断定 y = f (x)不存在斜渐近线. 例1 . 1 2( 2)( 3) 求 ( ) 的渐近线 − − + = x x x f x 解 (− ,1)(1,+ ). 注 = → lim ( ) 1 f x x , x = 1是曲线的铅直渐近线. 如果 但 lim [ f (x) ax]不存在, x − → b lim [ f (x) ax] x = − → , ( ) lim x f x a x→ = 定义域