第一节映射与函数映射函数■小结思考题
第一节 映射与函数 ◼ 映射 ◼ 函数 ◼ 小结 思考题
一、映射定义域记Df,即D,=X.1.映射概念定义 设XY是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对VxEX,通过f,在Y中有唯一确定的元素与之对应,则称f为从X到 Y的映射(或算子),记作f:x-→y.并称y为x(在映射下)的像,并记作f(x),即y = f(x),x称为y的原像
1. 映射概念 定义 设 X、Y 是两个非空集合,如果存在 一个法则f ,使得对 通过f ,在Y中有唯一 确定的元素 y 与之对应,则称f 为从 X 到 Y 的映 (或算子),记作 f : 并称y为x(在映射f下)的像,并记作 f ( x), 即 y = f (x), X →Y, x称为y的原像. x X, 射 定义域 Df , 即 D X. 记 f = 一、映射
注(1）构成一个映射必须具备以下三个要素：集合X，即定义域D，=X；集合Y，即值域的范围：R，CY;对应法则f,使对xE X,有唯一确定的y=f(x)与之对应(2)对 Vx E X,元素 x 的像y是唯一的;而对VyERr,元素y的原像不一定是唯一的;映射f 的值域R,是Y的一个子集,即R,CY,不一定R,=Y
对 x X, 元素 x 的像y是唯一的; 而对 , Rf y 元素 y 的原像不一定是唯一的; 映射 f 的值域 Rf 是Y 的一个子集, R Y , 即 f 不一定 R Y . f = (2) 注 (1) 集合X, 即定义域 D X; f = 集合Y, 即值域的范围: R Y; f 对应法则f , 使对 x X, 有唯一确定的 y = f (x) 与之对应. ① ② ③ 构成一个映射必须具备以下三个要素:
2.几类重要映射设映射f：X→Y.值域若R,=Y,即Y中任一元素y都是X中某元素的像，则称f是满射若 Vxi,X E X,Xi ±X2, 必有f(x)± f(x2),则称f是单射若映射f 既是满射,又是单射,则称f是一一映射(或双射)
设映射 f : X →Y. R Y, 若 f = 值域 即Y 中任一元素y 都是X中某 元素的像,则称f 是满射. 若 , x1 x2 必有 ( ) ( ), 1 x2 f x f 则称f 是单射. 若映射f 则称f 是 一 一 映射(或双射). 2. 几类重要映射 又是单射, , , x1 x2 X 既是满射
元元例设X, =(-0,+ 0), X,=[-]Y =(-00,+ 00), Y, =[-1,1].对应关系：对定义域内的任一x，f;(x) = sin x, i =1,2,3,4fi:Xi→Yi，既非满射,又非单射;f2:X→Y2,满射,非单射;fs:X2→Y，单射,非满射;f:X,→Y2，满射,单射,即为一一映射
例 设 ( , ), X1 = − + , 2 , 2 2 = − X ( , ), Y1 = − + [ 1,1]. Y2 = − : , 1 X1 Y1 f → : , 2 X1 Y2 f → : , 3 X2 Y1 f → : , 4 X2 Y2 f → f (x) sin x, i = i = 1, 对应关系: 2,3,4 既非满射,又非单射; 满射, 非单射; 单射, 非满射; 满射, 单射, 即为一一映射. 对定义域内的任一x