附注： 1)如果在首次积分的定义中，V(x,y)在G的某子区域2中恒 等于常数，则从V得不到方程(1)在2中的任何信息. 2)尽管方程组(1)定义在D上，但其首次积分未必能定义在整 个G上（见下面的例2）.这是在D的子区域上定义(1)的首 次积分的原因. 3)如果V(x,y)是(1)的一个首次积分，(z)是任一个连续函数， 则h(V(x,y)》也是(1)的一个首次积分. 日间中二”#主12刀双0 张样：上将交通大学数学系第十五讲、微分方程可积理论：背次积分的存在与判定
N5: 1) XJ3ƒg»©½¬•, V(x,y) 3 G ,f´ç Ω •ð u~Í, Kl V ÿêß (1) 3 Ω •?¤&E. 2) ¶+êß| (1) ½¬3 D ˛, Ÿƒg»©ô7U½¬3 á G ˛ (Ñe°~ 2). ˘¥3 D f´ç˛½¬ (1) ƒ g»©œ. 3) XJ V(x,y) ¥ (1) òáƒg»©, h(z) ¥?òáÎYºÍ, K h(V(x,y)) è¥ (1) òáƒg»©. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!á©êßå»nÿµƒg»©3ܽ
设问： 。首次积分的定义中需要知道解，这给首次积分的判定带来极 大的困难。 ·能否给出简易的判定准则？ 命题30 假设 。V在G中连续可微， 。且在G的任何子区域上不恒等于常数. 则V是方程(1)在G中的首次积分的充要条件是 av+Vk+…+V6=0,c)∈G Ox dyn 证：作为练习请读者自己完成. 张样：上海交通大学数学系 第十五讲、微分方程可积理论：首次积分的存在与判定
Ø: ƒg»©½¬•Iá)ߢâƒg»©½ë54 å(J" Uƒâ—{¥½OKº ·K 30 b V 3 G •ÎYåá, Ö3 G ?¤f´ç˛ÿð u~Í. K V ¥êß (1) 3 G •ƒg»©øá^ᥠ∂V(x,y) ∂ x + ∂V(x,y) ∂ y1 f1(x,y) +...+ ∂V(x,y) ∂ yn fn(x,y) ≡ 0, (x,y) ∈ G. y: äèˆSû÷ˆgC§. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!á©êßå»nÿµƒg»©3ܽ