证明：设x(t)=万(t)为程t)的解，住入(1)得 [m(t)+a,(t)Um-(t)+.+an(t)U(t)】+ iV((t)+a(t)V(-(t)+.+a,(t)V(t)] =u(t)+iv(t) 由此得 万m)(t)+a,(t)万m-(t)+.+an(t)U(t)=u(t) V(@(t)+a(t)v((t)+.+a(t)(t)=v(t) 说明U(缇静，是（劭解3） 结束 帮助
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 由此得 ( ) ( 1) 1 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) n n U t a t U t a t U t u t n − + + + = ( ) ( 1) 1 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) n n V t a t V t a t V t v t n − + + + = 说明 U t( ) 是 的解 (2) ， 是 V t( ) 的解。 (3) 证明：设 x t U t iV t ( ) ( ) ( ) = + 为方程 的解， (1) 代入(1)得 ( ) ( 1) 1 [ ( ) ( ) ( ) . ( ) ( )] n n U t a t U t a t U t n − + + + + ( ) ( 1) 1 [ ( ) ( ) ( ) . ( ) ( )] n n n i V t a t V t a t V t − + + + = + u t iv t ( ) ( )
(二)：常象数齐线性方程和Euler方程 设齐线性方程中所有系数都是常数，而方程是有如下形式 其中41,42，为常数，称(4.19)为常系数线性方程现在 我们来讨论(4.19)的解的求法。 一阶常系数线性方程y'+x峥匍。其通解为 y=ce ax 由此根据(4.19)左端的特点，我们猜想(4.19)也是有指数函数形式 的解，因此，设 y=e2x(4.20) 为(4.19)的解，其中为常数，可以是实的，也可以是虚的， 将(4.20)代公(4.19)的左端得 4e1-he+ahet+a-2e+ae =(2”+a2-1++-2+an)eM 结束
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 （二）：常系数齐线性方程和E u l e r 方程 设齐线性方程中所有系数都是常数，而方程是有如下形式 1 1 1 1 [ ] ( ) . ( ) ( ) 0 (4.19) n n n n n n d x d x dx L x a t a t a t x dt dt dt − = + + + + = − − 其中 a a a 1 2 , ,., 为常数，称 n (4.19) 为常系数线性方程现在 我们来讨论 (4.19)的解的求法。 (4.20) x y e = 一阶常系数线性方程 y ax + = 的解 0 。其通解为 ax y ce− = 由此根据 (4.19)左端的特点，我们猜想(4.19)也是有指数函数形式 的解,因此,设 为 (4.19) 的解，其中 为常数，可以是实的，也可以是虚的， 将 (4.20) 代入(4.19)的左端得 1 1 1 [ ] ( ) ( ) . ( ) n n t t t t t n n d d d L e e a e a e a e dt dt dt − = + + + + − 1 1 1 ( . ) n n t n n a a a e − = + + + + −
令 F(2)=入"+a12"-1+.+am-1乙+0n 则(4.20)为(4.19)的解的充分必要条件F(入)雨0 Jy=eu 中的2满足阶代数方程。 2"+2"-1+.+0n-1孔+an≡0 (4.21) 称(4.21)为方程(4.19)的特征方程，它的根就称为特征根.下面 就(4.21)不同的特征根情况讨论(4.19)的通解形式。 1)特征根是单根的情形 设入1，入2，.是特延方程 的(4孕锁此相等的根， 则相应地方程(4.1筹如下解： et,e,e2w （4.22) 我们指出这价解在区间α≤t土线性无关，从而组成方程 的基本解组，事实上，这是 结束 帮助 上一页 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 则(4.20)为 (4.19) 的解的充分必要条件 F( ) 0 而 = t y e = 中的 满足 n 阶代数方程。 称 (4.21) 为方程 (4.19) 的特征方程，它的根就称为特征根.下面 就 (4.21) 不同的特征根情况讨论 (4.19) 的通解形式。 令 1 1 1 ( ) . n n F a a a n n − = + + + + − 1 1 1 . 0 (4.21) n n n n a a a − + + + + − 1) 特征根是单根的情形 设 1 2 , ,., 是特征方程 n 的 (4.21) 个彼此不相等的根 n ， 则相应地方程 (4.19) 有如下 个解： n 1 2 , ,., (4.22) n t t t e e e 我们指出这 n 个解在区间 a t b 上线性无关，从而组成方程 的基本解组，事实上，这是
ekr ,e1 2e1 W(t)≡ A-le A-lei "-1em 1 1 =e3+场++，) 2 Π(-)≠0 1sjzisn 而最后的一个行列式是著名的范德蒙(Vandermonde)行列式， 由于假设2≠入，（当i≠），所以此行列式不为零。 结束 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 . . ( ) . . . . . n n n t t t t t t n n n n t t t n e e e e e e W t e e e − − − 1 2 ( . ) 1 2 1 1 1 1 2 1 1 . 1 . . . . . . n t n n n n n e + + + − − − = 而最后的一个行列式是著名的范德蒙（Vandermonde）行列式， 由于假设 i j ( ) 当i j ，所以此行列式不为零。 1 ( ) 0 i j j i n = −
如果2，(i=1,2,均实数，则是程2)的（4.19) n 个线性无关的实值解，而方程(4.1的通解可表示为： x=C1e+c2e+.+cneM 其中C1,C2,为任意常数。 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将成对 共轭地出现。设入，=是B特征根，则 入2=a-iB 也是特征根，因而与这对共轭复根对应的，方程(4.1霸两个 复值解 e(atiB)t '=e“(cos Bt+isin Bt) e(@-iB)=ea(cos Bt-isin Bt) 根据定理8，它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应 于特征方程的一对共轭复根2，=α我份可求的方程 (4.19) 的两个实值解 cos Bt esinβt 结束 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将成对 共轭地出现。设 1 = + 是一特征根，则 i 2 = − i 也是特征根，因而与这对共轭复根对应的，方程 (4.19) 有两个 复值解 根据定理8，它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来 , 对应 于特征方程的一对共轭复根 1 = 我们可求的方程 i (4.19) 的两个实值解 cos , sin t t e t e t ( ) (cos sin ) i t t e e t i t + = + ( ) (cos sin ) i t t e e t i t − = − 如果 ( 1,2,., ) 均为实数，则 是方程 (4.22) 的 (4.19) i i n = n n 个线性无关的实值解，而方程 (4.19) 的通解可表示为: 1 2 1 2 . n t t t n x c e c e c e = + + + 其中 1 2 , ,., 为任意常数。 n c c c