第三章 一外段分方金的部的存在突理 §1.解的存在唯一性定理与逐步逼近法 2.解的延拓 §3.解对初值的连续性和可微性 结束 帮助■ 上一面回下一页 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 §1. 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 §2. 解的延拓 §3. 解对初值的连续性和可微性
§1.解的存在雅一性定理与逐步 通近法 讲授内容：一阶微分方程解的存在唯一性定理 与逐步逼近法 讲授重点：存在唯一性定理的证明 结束 帮助
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 §1.解的存在唯一性定理与逐步 逼近法 讲授内容:一阶微分方程解的存在唯一性定理 与逐步逼近法 讲授重点: 存在唯一性定理的证明
31解的存在唯一性定理与逐步逼近法 上节我们已经讲了，对于初值问题 y'=f(x,y) (2.1) y(xo)=yo 首先我们研究这样两个问题有着特别重要的实际意义： (2.1)的解是否存在？ 2.1)的解是否唯一？在什么条件下，初值问题的解 存在且唯一呢？本章的定理1解决了这一问题。 结束 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 上节我们已经讲了，对于初值问题 首先我们研究这样两个问题有着特别重要的实际意义： = 0 0 = ( , ) (2.1) ( ) y f x y y x y §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 (2.1) 的解是否存在? (2.1) 的解是否唯一? 在什么条件下，初值问题的解 存在且唯一呢？本章的定理1解决了这一问题
3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法 y'=f(x,y) (2.1) y(xo)=yo 设(2.1)中的f(x矩形域 R:x-x≤a,y-y≤b (2.2) 上连续、 如果对于所有的(x,y1),(x,y存在常数 使得L>0 fx,)-f(x,y2)≤Ly1-2 成立，则称f(x在)R上关于y满足Lipschitz条件.L称 Lipschitz常数。 例如，函数f(x,y)在区域： 1≤y≤，浦尽x≤2 Lipschitz条件。因为对V(x,M),(x,y铕∈R w网层去吉k月 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 f x y f x y L y y ( , ) ( , ) 1 2 1 2 − − 例如，函数 在区域： 上满足 Lipschitz条件。因为对 有 f x y y ( , ) = 1 2,0 2 y x 1 2 ( , ),( , ) x y x y R− − = − = − + 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( , ) ( , ) 2 y y f x y f x y y y y y y y 如果对于所有的 ( , ),( , ) x y x y R 1 2 存在常数 , 使得 L 0 设（2.1）中的 f x y ( , ) 在矩形域 − − 0 0 R x x a y y b : , (2.2) 上连续. 成立，则称 在 R上关于 y 满足Lipschitz 条件.L称 Lipschitz常数。 f x y ( , ) §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 = 0 0 = ( , ) (2.1) ( ) y f x y y x y
31解的存在唯一性定理与逐步逼近法 y=f(x,y) (2.1) (o)=o 定理1如果(2.1)中的f(x,y)满足如下两个条件： ()在R中连续；(2)在R上关于y满足Lipschitzs条件， 则方程(2.1)存在唯一的解y=p(x),定义于区间x-x≤h 上连续且满足初始条件： P(xo)=Yo (2.3) b 这里 h=min(a, M=max f(x,y) (x,y)∈R 此定理的证明分了五个部分.由于直接由(2.1)证明有困难.所 以将问题转化，首先证明求(21)的解等价于求积分方程 y=yo+f(x,y)dx 的连续解.证明的第二部分到第五部分证明积分方程的解存在且唯 结束 帮助 上一返回下页 目录 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 此定理的证明分了五个部分. 由于直接由(2.1)证明有困难. 所 以将问题转化, 首先证明求(2.1)的解等价于求积分方程 = + 0 0 ( , ) x x y y f x y dx 定理1. 如果(2.1)中的 满足如下两个条件： (1) 在R中连续；(2) 在R上关于y满足Lipschitz条件. 则方程 (2.1)存在唯一的解 ，定义于区间 上连续且满足初始条件 ： f x y ( , ) y x = ( ) − 0 x x h 0 0 ( ) (2.3) x y = 的连续解. 证明的第二部分到第五部分证明积分方程的解存在且唯 一 . §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 = = ( , ) min( , ), max ( , ) x y R b h a M f x y M 这里 = 0 0 = ( , ) (2.1) ( ) y f x y y x y