§2.2线性方程与常数变易法 ●讲授内容：一阶线性微分方程极其法.Bernoulli方程的解法， 0教学要点：一阶线性微分方程的解法，常数变易法. 例2.12求方程的通解 (+)-w=e(x+为常数. d 例2.13求方程 dx 2x-y 的通解. 例2.14求方程 dy x+y 的通解 d 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 §2.2 线性方程与常数变易法 教学要点: 一阶线性微分方程的解法,常数变易法. 讲授内容: 一阶线性微分方程极其法.Bernoulli方程的解法. 例2.13 求方程 的通解. 2 2 dy y dx x y = − 例2.14 求方程 的通解. 4 3 2 dy x y dx xy + = 例2.12 求方程的通解 n为常数. 1 ( 1) ( 1) dy x n x ny e x dx + + − = +
§2.2线性方程与常数变易法 一阶线性微分方程的标准形式为： (2.19) d .-P(x)y+Q(x) 其中P(x),Q(x)在所讨论的区间上为x的连续函数，当Qx)=0时， (2.19)成为 y =P(x)y (2.20) dx 我们称(2.20)为一阶齐次线性方程.Q(x)≠0时，(2.19)称为线 性非齐次方程，并称Q(x)为线性方程(2.19)的非齐次项.(2.20)的 通解为 P(x)d (2.21) 结束 目录 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 一阶线性微分方程的标准形式为: ( ) ( ) (2.19) dy P x y x dx = +Q 其中P(x),Ｑ(x)在所讨论的区间上为x的连续函数，当Ｑ(x)≡0 时， (2.19)成为 ( ) (2.20) dy P x y dx = 我们称(2.20)为一阶齐次线性方程.Ｑ(x)≠0时，(2.19)称为线 性非齐次方程，并称Ｑ(x)为线性方程(2.19)的非齐次项.(2.20)的 通解为 ( ) (2.21) P x dx y ce = §2.2 线性方程与常数变易法
§2.2线性方程与常数变易法 =P(x)y+Q(x) (2.19) y (2.20) dx dx =P(x)y (2.19)与(2.20)的左端多了一项Qx),我们想，如果(2.21)中的c不是 常数而是x的某个函数，那么y对x导数就会出现两项，因此如果 将c取为适当的函数c(x),那么它有可能满足(2.19)为此，令 y=c(x)elP(o (2.22) 其中cx)为待定函数.要使(2.22)满足(2.21)，cc)应取什么样的函 数呢？为此我们将(2.22)及其导数 y(x)=c(P(x)c(x)e 代入(2.19)得 c(x)ec()P(x)e=c(x)P(x)e() 结束 帮助 返回 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 (2.19)与(2.20)的左端多了一项Q(x),我们想，如果(2.21)中的c不是 常数而是x的某个函数，那么y对x导数就会出现两项，因此如果 将c取为适当的函数c(x),那么它有可能满足(2.19).为此，令 ( ) ( ) (2.22) P x dx y c x e = 其中c(x)为待定函数.要使(2.22)满足(2.21),c(x)应取什么样的函 数呢？为此我们将(2.22)及其导数 ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) P x dx P x dx y x c x e P x c x e = + 代入(2.19)得 §2.2 线性方程与常数变易法 ( ) ( ) (2.19) dy P x y x dx = +Q ( ) (2.20) dy P x y dx = ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P x dx P x dx P x dx c x e c x P x e c x P x e Q x + = +
§2.2线性方程与常数变易法 y =P(x)y+Q(x) (2.19) dx 于是 e"(x)e =Q(x) 从而 c"(x)=eQ(x) 积分得 c(e)=∫2()e临+ (2.23) 其中c为任意常数， 这就是说，要使(2.22)满足(2.19)，cx)应满足(2.23).所以(2.19)的通解为 y-f Soee 其中c为任意常数 结束 帮助 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 '( ) ( ) Pdx c x e Q x = 从而 ( ) '( ) ( ) P x dx c x e Q x − = 积分得 ( ) ( ) ( ) (2.23) P x dx c x Q x e dx c − = + 其中 c 为任意常数. §2.2 线性方程与常数变易法 于是 这就是说，要使(2.22)满足(2.19)，c(x)应满足(2.23).所以(2.19)的通解为 ( ) ( ) P x dx Pdx y e x e dx c − = + Q 其中c为任意常数. ( ) ( ) (2.19) dy P x y x dx = +Q
§2.2线性方程与常数变易法 以上的方法称为常数变易法。 此外，不难得到方程(2.19)满足y(x。)的解为 edr 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 0 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) [ ( ) ] x x x x P t dt P t dt x x y x e y x e dt − = + Q §2.2 线性方程与常数变易法 以上的方法称为常数变易法. 此外，不难得到方程(2.19)满足 y x y ( )0 0 = 的解为