§2.4一阶隐方程与参数表示 1.可对解出的方程y=Fcy). 例2.22 例2.23 2.可对x解出的方程x=Fy). 例2.24 3.方程不显含y的方程Fcy)=0 例2.25 例2.26 4.方程不显含x的方程Fy)=0. 例2.27 结束 帮助■ <上一扳回下一顶<■目录 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 §2.4 一阶隐方程与参数表示 1.可对y解出的方程 y=F(x,y ’). 2.可对x解出的方程 x=F(y,y ’). 3.方程不显含y的方程 F(x,y ’)=0. 4.方程不显含x的方程 F(y,y ’)=0. 例2.22 例2.23 例2.24 例2.27 例2.25 例2.26
上§2.4一阶隐方程与参数表示 讲授内容： 一阶隐方程F化，妙)=O的四种特殊类型方程的求解 讲授重点 x=f,y),F,y)=0,fy)=0的解法 难点： f,y)=0和FJy)=0的参数表示 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 一阶隐方程 F(x,y,y')=0 的四种特殊类型方程的求解. x=f(x,y’), F(x,y’)=0, f(y,y’)=0的解法 f(y,y’)=0 和F(x,y’)=0的参数表示. §2.4 一阶隐方程与参数表示 讲授内容: 讲授重点: 难点:
_§2.4一阶隐方程与参数表示 前面讲述的关于一阶方程的几种解法，都是对能把y明显解出而可 表示成标准形y'=x,y)进行的。但是若从一般形式方程Fx,y')=O 无法将y解出，或者即使能把y'解出来，其表达式非常复杂，那么上 述那些方法就无法使用.例如 e就无法将y表示出来.为 了求解这类方程，我们采用所谓的参数形式解.就是把它的解y=y(x)想 办法表示成 x=(t),y=w(t), 这里t为参数。 下面介绍四种特殊类型方程： 1.可对y解出的方程y=Fc). 2.可对x解出的方程x=F). 3.方程不显含y的方程Fxy=0. 4.方程不显含x的方程Fy)=0. 结束 返回下一页<目录 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 前面讲述的关于一阶方程的几种解法，都是对能把y ’明显解出而可 表示成标准形 y ’ = f(x,y) 进行的。但是若从一般形式方程F(x,y,y ’ )=0 无法将y ’解出，或者即使能把y ’解出来，其表达式非常复杂，那么上 述那些方法就无法使用.例如 就无法将y ’表示出来.为 了求解这类方程，我们采用所谓的参数形式解.就是把它的解y=y(x)想 办法表示成 ' 2 2 ' 1 y e xy + = 这里t 为参数。 x t y t = = ( ), ( ), 下面介绍四种特殊类型方程: 1.可对y 解出的方程 y=F(x,y ’). 2.可对x 解出的方程 x=F(y,y ’). 3.方程不显含y 的方程 F(x,y ’)=0. 4.方程不显含x 的方程 F(y,y ’)=0. §2.4 一阶隐方程与参数表示
S2.4一阶隐方程与参数表示 1.可对y解出的方程y=Fxy 对于方程y=八x,美有选续偏导数，引进参数 =p dx 于是有y=f(x,p两边对x求导，得 a af of dp p Oxc O ap dx af op 这是关于x,p的一阶微分方程，导数已解出.可按前而讲的方法求出 解，假设通解为Φ(x,p,c=0,则原方程的通解为 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 对于方程 ( , ) ,其中f有连续偏导数,引进参数 dy y f x dx = ( ) dy p x dx = 1.可对y 解出的方程 y=F(x,y ’). f f dp p x p dx = + f p dp x dx f p − = 这是关于x,p的一阶微分方程,导数已解出.可按前而讲的方法求出 解,假设通解为(x,p,c)=0, 则原方程的通解为 §2.4 一阶隐方程与参数表示 于是有 y f x p = ( , ) , 两边对x求导,得
L§2.4一阶隐方程与参数表示 例2.22解方程 解：令 =p,则原方程变为y=p+2 两边对x求导得 p=n黑2p+2密 pd+(3p2+2x)dp=0 aM =1, aN a =2 或这写成 3p2dp+2xdp+pdx =0 1-2 1 =十 两端乘P得 -P +p 3pdp+2xpdp+p'dx =0 L(p)=P 从而 4(匠p+p2)=0 3 n2+2=c→x= c- 其中c为任意的常数.故原方程的通解为 (p≠0) 2c .·p=0时，y=0.y=0也是解. 结束 籍助2上一贡返回下 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 例2.22 解方程 3 ( ) 2 0. dy dy x y dx dx + − = 解: 令 dy p dx = ，则原方程变为 3 y p xp = + 2 两边对x求导得 2 3 2 2 dp dp p p p x dx dx = + + 或这写成 2 3 2 0 p dp xdp pdx + + = 两端乘P得 3 4 2 ( ) 0 4 从而 d p xp + = 4 4 2 2 3 3 4 4 c p p xp c x p − + = = 3 2 3 2 0 p dp xpdp p dx + + = §2.4 一阶隐方程与参数表示 2 pdx p x dp + + = (3 2 ) 0 1 2 M N P x = = ， 1 2 1 p p − = + − + ( ) p p = 其中c为任意的常数. 故原方程的通解为 2 2 3 3 4 0 2 1 2 c x p p p c y p p = − = − ，（ ） p y y = = = 0 0 0 时, 也是解