新疆大学：《常微分方程》课程教学资源（辅助资料）常微分方程稳定性基本理论及应用（PDF打印版）

目 录 前言...... .......... 5 §1.常微分方程基本概念 6 §2.基本定理 9 §3.稳定性的基本定义 18 4. Liapunov 函数. 28 §5.稳定的基本定理 31 §6.渐近稳定的基本定理 35 §7.不稳定的基本定理 43 §8.全局渐近稳定的基本定理 47 §9.解的渐近性质 54 §10.解的一般有界性 §11.解的最终有界性 12.稳定性的比较原理 59 §13.线性方程组的Liapunov 函数 66 §14.线性近似决定的稳定性 72 15.类比法构造 Liapunov 函数 75 §16.力学系统的稳定性 83 §17.种群系统的稳定性 88 18.传染病系统的稳定性 99 §19.市场价格系统的稳定性 105 §20.控制系统的稳定性 117 §21.人工神经网络的稳定性 128

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分 稳定性的概念最早来源于力学，主要刻划了干扰性因素对一个力学系统运动的 影响。所谓干扰性因素，就是那些在描述物体运动时由于与基本力相比很小而未曾 加以考虑的力.这些力常常是不确切知道的，它们可以是瞬间的作用，因而引起力 学系统初始状态的微小变化.也可以作用于物体运动的整个过程.微小的干扰因素 对一个学系统运动的影响，对于不同的运动是不一样的.对于一些运动来说这种 影响并不显著，因而随着时间的变化，受干扰的运动和不受干扰的运动始终相差的 很小.反之，对于另一些运动来说，干扰因素的影响就可能就很显著，以致于无论 干扰因素多么的小，随着时间的变化，受干扰的运动和不受干扰的运动可能相差的 很大.简单地说，属于第一类的运动我们就称是稳定的运动，而属于第二类的运动 我们称为是不稳定的运动， 特别地，对于一个刚体运动系统来说，它的平衡位置就是这个力学系统的一个 特殊运动.通常我们说这个平衡位置是稳定的，就是指刚体在受到干扰力的作用从 它的平衡位置发生微小的移动后，但随着时间的推移，仍然能够回到它原有的平衡 位置.反之，如果刚体不能回到它原有的平衡位置，则我们就说这个平衡位置是不 稳定的.最明显的例子就是单摆，如下图所示， 3

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单摆的平衡位置有两个，一个是夹角9=0，另一个是夹角日=π.显然，我们都 知道，日=0是稳定的平衡位置，而0=云是不稳定的平衡位置 关于稳定性研究的早期工作主要是研究物体的平衡位置的稳定性问题.最早的 一个稳定性原理是以意大利科学家Torricelli命名的一个定律，即：物体的重心处 于最低位置的平衡位置是稳定的.后来，稳定性的研究逐步发展到研究运动的稳定 性.而且所谓运动，也不限于物体的运动，任何事物的变化都是一种运动，都存在 着是否稳定的问题。因此运动稳定性的研究在现代已经超出了力学的范围，而进入 了许多其它的自然科学领域。 稳定性是一个非常具有实用意义的概念。事实上，对于任何一项我们将要实施 的工程来说，稳定性问题的研究往往成为这个工程能否最终实现，并且达到理想目 标的关键以发射人造卫星为例，我们要求卫星按照预定的轨道运行，如果这个运 动不是稳定的，这个要求就无法实现或者实现的很不理想，从而卫星的发射也就不 会成功.大量的工程中都存在着类似的问题.因此稳定性理论的研究对于科学技术 的发展具有重要的意义. 由于任何一个实际的系统，不论是力学系统，电学系统，生态系统，经济系统， 还是其它学科领域内的系统，都可以通过建立数学中的微分方程，差分方程，或者 是其它类型的数学方程来描述，而这些实际系统的任何一个运动都对应于所建立的 数学方程的某一个解、因此，一个实际系统的运动的稳定性问题就转化为所对应的 数学方程的解的稳定性问题。稳定性理论研究的核心内容就是要建立各类具有不同 实际意义或实际应用的稳定性概念的精确的数学描述，以及建立关于这些稳定性概 念的各种不同的判别准则，特别是充分必要的判别准则.并将这些判别准则应用于 实际问题，用来判断所考察的具体运动是稳定的还是不稳定的，以及具有怎样的稳 定性特征 为稳定性理论作出开创性工作的是俄国科学家A.M.李雅普诺夫(AM.Liapunov), 他从1882-1892年完成的在理论和实际上均具有普遍意义的博士论文“运动稳定性 的一般问题”，首次从数学的角度给出了稳定性的精确定义，开创了常微分方程的解 4

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的稳定性理论.AM.李雅普诺夫从类似于物体的总能量的物理概念得到了启示， 提出了后来被人们称为Liapunov函数的研究方法，将一般常微分方程的解的稳定 性的讨论转化为讨论一个标量函数(Liapunov函数以及它对常微分方程的全导数 的某些特性的研究。成功地避开了具体求解常微分方程的困难，从而建立了常微分 方程稳定性研究的基本框架 A.M.李雅普诺夫的这一工作影响之巨大，在稳定性理论的一百年来的历史中已 经得到了充分的证明.在理论上，稳定性理论和Liapunov函数方法已经从原来的 常微分方程领域发展到了积分方程，泛函微分方程，差分方程，随机微分方程和偏 微分方程领域等等，从有限维空间发展到了无穷维空间；在应用上，已经从力学领 域发展到了自动控制，机械，航空，航天，电力，化工，生态，农业，经济，能源， 管理和系统工程等许多科学领域.目前，稳定性理论和Liapunov函数方法已经形 成了从理论到应用的一个非常丰富的体系 本讲义较系统地介绍了常微分方程稳定性理论的基础内容和应用，从中读者可 基本了解到常微分方程稳定性理论的发展状况和研究方法.具备有数学分析，线性 代数，解析几何，常微分方程基础理论知识和泛函分析初步知识的读者都可以读通 本讲义 本讲义共计二十一节内容，可划分为两个部分.第一部分从第一节到第十二节， 这里主要介绍了常微分方程稳定性理论的基本概念和基本定理.基本概念包括：解 的稳定性，不稳定性和一致稳定性；解的吸引性，一致吸引性和全局吸引性；解的 渐近稳定性，一致渐近稳定性和全局渐近稳定性；解的有界性，等度有界性和一致 有界性；解的最终有界性，等度最终有界性和一致最终有界性；Liapunov函数， Liapunov函数的全导数，Liapunov函数的常号及定号性，Liapunov函数的无穷 小上界和无穷大性质，等等.基本定理包括：解的稳定性的Liapunov型基本定理； 解的渐近稳定性的Liapunov型基本定理，解的不稳定性的Liapunov型基本定理； 解的全局渐近稳定性的Liapunov型基本定理，解的渐近性质的Liapunov型基本定 理；解的一般有界性和最终有界性的Liapunov型基本定理；稳定性的Liapunov型 5

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比较原理，等等.第二部分从第十三节到第二十一节，这里主称似绍了Liapunov函 数构造理论基础和稳定性理论应用基础。内原包为：常系数线性微分方程组的二次 型Liapunov函数的穷在性；线性随似决定的稳定性；二次型Liapunov函数的巴尔 巴欣公式构造非线性微分方程Liapunov函数的稳比法；吸学系统的稳定性问题； 控制系统的稳定性问题；生态系统的稳定性问题；动态经济系统的稳定性问题；传 染病动吸学系统的稳定性问题；域工神经网络动吸学系统的稳定性问题，等等。 6

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