§4.3高阶方程的降阶法和幂 级数解法 主要内容 (一) 可降阶的一些方程类型 (二) 二阶线性方程的幂级数解法 (三) 作业 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 § 4.3 高阶方程的降阶法和幂 级数解法 （一） 可降阶的一些方程类型 （二） 二阶线性方程的幂级数解法 （三） 作业 主要内容
(一)1 可降阶的一些方程类型 阶微分方程的一般形式为 F(t,x,x'.,x)=0 下面讨论三类特殊方程的降阶问题 1). Ft,x,xk+",x0)=01≤k≤n (4.57) 此方程的特点是不显含x,x,x,最低阶导数为k阶， 令x()则x+=y',x+)=y”,xm=ym-) 测方程降为关于y的n-k阶方程. F(t,y,y',.()=0 (4.58) 如果能够求得方程(4.58)的通解 y=(t,c1,C2.C(n-k)) 即xk=p(t,C1,C2,Cm-k) 再经过k次积分得到 x=(t,cc2.,c) C,C,Cn为任意常数.可以验证，这就是方程(4.57)的解. 结束 精助必上一贡返回下一页<目录 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 n阶微分方程的一般形式为 下面讨论三类特殊方程的降阶问题 ( ) ( , , ., ) 0 n F t x x x = ( ) ( 1) ( ) 1). ( , , ,., ) 0 1 (4.57) k k n F t x x x k n + = 此方程的特点是不显含 ,最低阶导数为 k阶, ( 1) , ,., k x x x − 则方程降为关于 的 阶方程. y n k − 1 2 ( , , ., ) n x t c c c = ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) 令x t x y x y x y k k k n n k ( ) , ,., ，则 + + − = = = 1 2 ( ) ( , , ., ) n k y t c c c = − ( ) ( , , ,., ) 0 (4.58) n k F t y y y − = 如果能够求得方程 (4.58) 的通解 再经过k次积分得到 （一） 可降阶的一些方程类型 ( ) 1 2 ( , , ., ) k n k 即 x t c c c = − 1 2 , ,., 为任意常数.可以验证，这就是方程(4.57)的解. n c c c
(因为x()=(t,C1,C2,Cn-k）.'=xk+,”=xk+2.,0m-0=xm F(t,pk),k+,pm)=F(t,p,p',p-)=0 ∴.x=p(t,C1,C2,Cn)为方程的解.) 对于二阶方程， F(t,x'x"=0令x'=y→Ft,yy)=0 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 ( 1) ( 2) ( ) ( ) 1 2 . ( ( ) ( , , ,., ) , ., 因为 k k n k n n k x t t c c c x x x + + − − = = = = ( ) ( 1) ( ) ( ) ( , , ,., ) ( , , ,., ) 0 k k n n k F t F t + − = = 1 2 ( , , ,., ) = x t c c cn 为方程的解.) 对于二阶方程, F t x x x y F t y y ( , . ) 0 ( , . ) 0 = = = 令
例1求方程 dsx Idix =0的通解 tdt 解：令x4)=y,xs) 一在方程化为 y dt 解得ny=lnt+lnc,y=ct,即x4)=ct,积分4次得 x(t)=ct5+c+ct3+ct2+cst 为方程的通解 例2：求方程tc"-2x'=t3+t通解 解：令x=y方程化为，-2y=+1,y-2y=2+1 =产[r+ue*]=r+习+ -1voe =p-tree 即x'=t3-t+c,t2 积分得通解 x(=4 1 t2+t3+c2 4 2 3 结束 上一返同下页< 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 解：令 (4) (5) , 方程化为 dy x y x dt = = dy 1 y dt t = 5 4 3 2 1 2 3 4 5 x t c t c t c t c t c t ( ) = + + + + 为方程的通解 解得 ln ln ln y t c = + , , y ct = 即 (4) x c t = ,积分4次得 例2:求方程 通解 3 tx x t t − = + 2 解：令 x y = 方程化为, 3 2 2 ty y t t y y t 2 , 1 t − = + − = + 5 4 5 4 1 例1 求方程 0的通解 d x d x dt t dt − = 2 2 2 1 ( 1) dx dt t t y e t e dt c − = + + 2 2 1 1 t dt c 1 t = + + 2 2 1 1 t t c t t = − + 3 2 1 = − + t t c t 3 2 即x t t c t1 = − + 4 2 3 1 2 1 1 ( ) 4 2 3 c x t t t t c = − + + 积分得通解
2)F(x,x,x=0 (4.59) 此方程的特点是左端不显含自变量含x'=y,引进新的未知量 视为自变量，则 -所- dt dx dt -{)©-)是 设x可用y及少， 表出(k≤n) 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 ) ( ) 2 ( , ,., ) 0 4.59 ( ) n F x x x = 此方程的特点是左端不显含自变量t含 ,引进新的未知量 视为自变量,则 x y = y x dy dy dx dy x y dt dx dt dx = = = 2 2 2 d dy dx dy d y x y y y dx dx dt dx dx = = + 2 2 2 2 dy d y x y y dx dx = + 设 x ( ) k 可用 y 及 1 1 ,., k k dy d y dx dx − − 表出 ( ) k n 1 ( ) 1 即 , ,., k k k dy d y x y dx dx − − =