dx 例1：求方程 +通解0 dt 解：特征方程为 2 -5λ+4=0 特征根为2=1,2换4 所绘芳程的两个线性 无关的解，因而其通解为 x(t)=cjex+czeix 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 例1：求方程 的通解？ 2 2 5 4 0 d x dx x dt dt − + = 解：特征方程为 2 − + = 5 4 0 特征根为 1 2 = = 1, 4 ,故 为所给方程的两个线性 4 , x x e e 无关的解，因而其通解为 4 1 2 ( ) x x x t c e c e = +
例2：求方程x"-3x"+9x'+艳通解0 解：特征方程为 九3-3元2+9九+13=0 (2+1)(22-4入+13)=0 特征根为 21=-1,入2=-2+3i,23=-2-3i 因此方程的三个线性无关的解是 e',e cos3t,e2 sin3t 故方程的通解为 x(t)=ce+(c2 cos3t+ca sin3t)e2 结束 上一同下一顶<2 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 例2：求方程 x x x x − + + = 3 9 13 0 的通解？ 解：特征方程为 3 2 − + + = 3 9 13 0 2 ( 1)( 4 13) 0 + − + = 特征根为 1 2 3 = − = − + = − − 1 , 2 3 , 2 3 i i 因此方程的三个线性无关的解是 2 2 , cos3 , sin3 t t t e e t e t − − − 故方程的通解为 2 1 2 3 ( ) ( cos 3 sin 3 ) t t x t c e c t c t e − − = + +
2)特征根为重根的情形 设入=为特征方程（椒1） k(垂根实砌或复的) 这时e为方程的一个解，但这时互的特征根的个数小于n 故相应地线性无关的解的个数也小于1要得到通解，这些 解不够的，对应于入，除了e还应补上那些解呢？ 下面我们进一步讨论 由于入=为（的1重根k所以 为F(猢九-元1k 重因式，由代数学知道，九一为 F的帆)因试，为 F"惘)1 因2式，.为 的F重我， 不是Fk(的因式。而F(2)≠0 F(2)=F'(2)=.=Fk-(2)=0 结束 帮助
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 2）特征根为重根的情形 设 为特征方程 的 重根(实的或复的) = 1 (4.21) k k n (1 ) 这时 为方程的一个解，但这时互的特征根的个数小于 1 t e n 故相应地线性无关的解的个数也小于 n ，要得到通解，这些 下面我们进一步讨论 解不够的，对应于 1 ，除了 e 外还应补上那些解呢 1 t ？ 由于 = 为 1 (4.21) 的 重根，所以 k 为 的 − 1 F( ) k 重因式，由代数学知道， − 为 1 F 的 ( ) 重因式，为 k −1 F ( ) 的 重因式,.为 的 1 重因式, k − 2 ( 1)( ) n F − ( 1) 1 1 1 ( ) ( ) . ( ) 0 k F F F − = = = = 不是 F k ( ) 的因式。而 1 ( ) 0 k F
特殊情形入而0 为机=0的（趣。k 这样，由F(O)得 蚀=0 得0)=0 0n-1=0 由 Fk-)=0 而这时特征方程变为 九n+a2m-+.+ank2=0 而对应的方程变为 d"x dt" -0 (也就是说，只有方程的形状为上述形状或，=4m-1=.= am-k+1哇0能重特征根。) 结束 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 特殊情形 1 = 而 0 为 = 0 的 (4.21) 重根。 k 这样，由 F(0) 0 得 = 由 0 F 得 (0) 0 = n a = 1 0 n a − = 由 F ( 1) k− (0) 0 得 = 而这时特征方程变为 1 0 n k a − + = 1 1 . 0 n k n n k a a − + + + = − 而对应的方程变为 1 1 1 . 0 (*) n n k n n k n k d x d x d x a a dt dt dt − + + + = − − （也就是说，只有方程的形状为上述形状或 时 才能为 重特征根。） 1 . n n a a = = = − 1 0 n k a − + = = 0 k
容易看出1，t,t2,.是-1的（个解，而且它们是线性无 关的。这样一来特征方程如果有便零根，则对应于这重零 根的方程(4.的)个解为 1,t,t设，t月九=几≠0 k 重根。下面我们将通过变换见问题转化为入)】 重根的情形 令x=Jy'L成iz xm）=(Jye)mw）=y(meht+nZy-lDet+ mm-D2ym-2》e+.+"ye2 将x=e代入4.1转 e1=D0+y=+m3ya-2++2e4 2! +a,D-+nn+gya++4 2! +.+n-iy'+y]e+ane =[y+.+by+byle=L(y)e 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 容易看出 1, , ,., t t t 2 1 是 k− 的 (*) 个解， k 而且它们是线性无 关的。这样一来特征方程如果有 k 重零根，则对应于这 k 重零 根的方程 的 个解为 1, , ,., t t t .设 2 1 k 为− (4.19) 1 k = 0 k 重根。下面我们将通过变换见问题转化为 = 为 0 重根的情形 k 令 x ye = 由 1 t Leibniz 公式 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 ( ) m m m m t t t x ye y e m y e − = = + + 2 ( 2) 1 1 1 1 ( 1) . 2 ! m m m m t t y e ye − − + + 将 1 代入 得 t x ye = (4.19) 1 1 ( ) ( 1) 2 ( 2) 1 1 1 ( 1) [ [ . ] 2 ! ] t n n n n n n t L ye y y y y e − − − = + + + + 1 ( 1) ( 2) 2 ( 3) ( 1) 1 1 1 1 ( 1) [ . ] 2 ! n n n n n n t a y n y y y e − − − − − + + + + + 1 1 1 1 . [ ] t t n n a y y e a ye + + + + − 1 1 ( ) ( 1) 1 1 1 1 [ . ] ( ) n n t n n t y b y b y b y e L y e − = + + + + = −