第一章绪论 第一章绪论 一应该掌握的基本知识 1.基本概念 微分方程：常微分方程及偏微分方程：线性和非线性微分方程：解和隐式解：通 解和特解：方程和方程组。 2.根据实际问题建立微分方程模型：(1)数学摆：（②）人口增长模型：(3)SI及SIR传染 病模型：(4)两生物种群生态模型（⑤）化学动力模型 二.学习注意点 根据实际问题建立常微分方程模型是本课程的重点和难点之一.中学阶段解决应用 问题通常是先根据问题所给出的条件，列出已知与未知数所满足的条件等式，这类等 式是代数方程或三角方程，然后解出未知数微分方程则与之不同，它是根据问题的条 件，给出未知函数及其自变量与未知函数的导数之间的条件的等式，是描述某一事物 在任何位置、任何时刻都必须满足的表达式，然后通过一定的方法求出未知函数，因 此建立微分方程也是建立应用问题的数学模型可以用微分方程建立数学模型的应用问 题通常是几何问题，运动问题，力学问题、热学问题、电路问题以及生物、医学、生 态、经济等领域的某些问题。学生要适当掌握这方面的知识。能够理解所建模型，理 解参数的含义，通过分析解的性质，解释其实际意义，要正体会到常微分方程理论来 源于实践，自己能够利用所学知识解决实际问题。 三.释疑解难 1.怎样建立微分方程解决应用问题？ 答对一些需要求“运动规律”、“变化规律”、“对应规则”的实际问题，通 常考虑用微分方程来解决.建立微分方程是根据实际问题的条件，列出未知函数和它 的导数（微分）及其自变量之间关系的等式。这些问题通常是几何问题，运动问题， 力学问题、热学问题、电路问题以及生物、医学、生态、经济等领域的某些问题.虽然 -2-
第 一 章 绪 论 第一章 绪论 一.应该掌握的基本知识 1. 基本概念 微分方程；常微分方程及偏微分方程；线性和非线性微分方程；解和隐式解；通 解和特解；方程和方程组。 2. 根据实际问题建立微分方程模型：(1)数学摆；(2)人口增长模型； (3)SI 及SIR 传染 病模型； (4)两生物种群生态模型 (5) 化学动力模型 二. 学习注意点 根据实际问题建立常微分方程模型是本课程的重点和难点之一. 中学阶段解决应用 问题通常是先根据问题所给出的条件，列出已知与未知数所满足的条件等式， 这类等 式是代数方程或三角方程，然后解出未知数.微分方程则与之不同，它是根据问题的条 件， 给出未知函数及其自变量与未知函数的导数之间的条件的等式，是描述某一事物 在任何位置、 任何时刻都必须满足的表达式，然后通过一定的方法求出未知函数，因 此建立微分方程也是 建立应用问题的数学模型.可以用微分方程建立数学模型的应用问 题通常是几何问题，运动问题， 力学问题、热学问题、电路问题以及生物、医学、生 态、经济等领域的某些问题。 学生要适当掌握这方面的知识。能够理解所建模型，理 解参数的含义，通过分析解的性质， 解释其实际意义，要正体会到常微分方程理论来 源于实践，自己能够利用所学知识解决 实际问题。 三. 释疑解难 1. 怎样建立微分方程解决应用问题？ 答 对一些需要求“运动规律”、“变化规律”、“对应规则”的实际问题，通 常考虑 用微分方程来解决. 建立微分方程是根据实际问题的条件，列出未知函数和它 的导数（微分）及其自变量之间 关系的等式。这些问题通常是几何问题，运动问题， 力学问题、热学问题、电路问题以及生物、医学、生态、经济等领域的某些问题. 虽然 – 2 –
第一章绪论 应用问题涉及的范围很广，但是在建立数学模型时的基本指导思想有共同之处。 (1)建立微分方程的基本条件： (①)由于微分方程所含的导数都是实际问题中各种变量的变化率，因此我们要熟悉 能用导数表示的各种常见的变化率.例如 切线的斜率款-光与曲线的自幸K=a十A 小 速威一密与加速成一密-器 角电政一尝角道度一兰-品 电流一品放射学中的衰变率、生物学、传染病学以及人口学中的增长率等。 需要熟悉与问题有关的各种定理、原理、原则例如 力学中物体运动所遵循的牛顿第二定律、牛顿万有引力定律： 热学中的牛顿冷却定律、傅里叶热传到定律：弹性变形问题中的胡克定律： 流体力学中的托里拆里定律，化学中的质量作用定律等： 变化问题中常常遵循的原则： 净变化率（改变率）=输入率（增加率）输出率（减少率） (2)建立微分方程及求解的注意点： ()如果问题要求“运动规律”、“变化规律”、“对应规则”等，则需用微分 方程来解决问题如果问题的条件中有“变化”、“快慢”、“增减”一类词汇时，则 可能表明问题与导数有关.这时应根据问题的特征，一方面可考虑问题是否遵循什么定 律或原则，利用己知定律或原则来建立微分方程：另一方面可考虑用微元法导出微分 方程. ()问题往往给出特定时刻或特定位置的信息，据此写出定解条件或确定解中的有 关常数.如积分常数、比例常数等. ()微分方程的有关的各项应采用同样的单位（量纲） -3-
第 一 章 绪 论 应用问题 涉及的范围很广，但是在建立数学模型时的基本指导思想有共同之处。 (1) 建立微分方程的基本条件： (i) 由于微分方程所含的导数都是实际问题中各种变量的变化率，因此我们要熟悉 能用导数表示的各种常见的变化率. 例如 切线的斜率k = dy dx与曲线的曲率K = |y 0 | (1 + y 02 ) 3 2 ; 速度v = dx dt 与加速度a = dv dt = d 2x dt2 ; 角速度ω = dθ dt与角加速度β = dω dt = d 2 θ dt2 ; 电流i = dQ dt ; 放射学中的衰变率、生物学、传染病学以及人口学中的增长率等. 需要熟悉与问题有关的各种定理、原理、原则. 例如 力学中物体运动所遵循的牛顿第二定律、牛顿万有引力定律; 热学中的牛顿冷却定律、傅里叶热传到定律； 弹性变形问题中的胡克定律； 流体力学中的托里拆里定律，化学中的质量作用定律等； 变化问题中常常遵循的原则： 净变化率（改变率）=输入率（增加率）-输出率（减少率）. （2）建立微分方程及求解的注意点： （i）如果问题要求“运动规律”、“变化规律”、“对应规则”等， 则需用微分 方程来解决问题.如果问题的条件中有“变化”、“快慢”、“增减” 一类词汇时，则 可能表明问题与导数有关. 这时应根据问题的特征，一方面可考虑问题是否遵循什么定 律或原则，利用已知 定律或原则来建立微分方程；另一方面可考虑用微元法导出微分 方程. (ii) 问题往往给出特定时刻或特定位置的信息，据此写出定解条件或确定解中的有 关常数. 如积分常数、比例常数等. (iii) 微分方程的有关的各项应采用同样的单位（量纲）. – 3 –
第一章绪论 ()在得出微分方程及其解之后，应检查是否与实际问题问题相符合？因为不 完全符合实际的可能性是存在的，这种可能性产生于：第一，解微分方程过程中的增 解：第二，在建立微分方程时往往忽略去一些与问题有关的“次要”因素，因而所 得的数学模型是“近似”的，从而所得结果与实际情况有差距.如果差距太大，就应 该修改模型.例如，在建立质点运动的模型时，可以忽略阻力（这可能对运动是合适 的)，但这对阻力处于重要地位的运动来说，所得的模型就与实际情况大相进庭了， (3)用微分方程解应用题的一般步骤： ①)分析问题，建立微分方程：写出定解条件：注意单位的统一： ()求出微分方程的解（通解），或根据定解条件，确定积分常数（包括比例系 数)； (的)验证解的合理性，回答问题，必要时修改模型，对问题作进一步的探讨. 四.例题增补 1.一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比 (比例系数为k1)的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正 比（比例系数为k2)。试求此质点的速度与时间的关系。 解：设质点在t时刻的速度为u,加速度为α，所受合外力为F,由物理学知识得： - 根据题意，F-t一k2,故 m密-1-k>0 即 盟-会 ()式为一阶线性方程， 2.摩托艇以5米/秒的速度在静水中运动，全速时停止了发动机，过了20秒种后艇 -4-
第 一 章 绪 论 (iv) 在得出微分方程及其解之后， 应检查是否与实际问题问题相符合？ 因为不 完全符合实际的可能性是存在的，这种可能性产生于：第一，解微分方程过程中的增 解； 第二，在建立微分方程时往往忽略去一些与问题有关的“次要”因素，因而所 得的数学模型是 “近似”的，从而所得结果与实际情况有差距. 如果差距太大，就应 该修改模型. 例如，在建立质点运动的模型时，可以忽略阻力（这可能对运动是合适 的），但这对阻力处于重要地位的运动来说，所得的模型就与实际情况大相进庭了. (3) 用微分方程解应用题的一般步骤： (i) 分析问题，建立微分方程；写出定解条件； 注意单位的统一； (ii) 求出微分方程的解（通解）， 或根据定解条件，确定积分常数（包括比例系 数）； (iii) 验证解的合理性，回答问题，必要时修改模型，对问题作进一步的探讨. 四. 例题增补 1. 一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比 （比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速 度成正 比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。 解： 设质点在t时刻的速度为v,加速度为a,所受合外力为F,由物理学知识得： a = F m 根据题意，F = k1t − k2t, 故 m dv dt = k1t − k2t(k2 > 0) 即 dv dt = k1 m t − k2 m t (∗) (*)式为一阶线性方程， 2. 摩托艇以5米/秒的速度在静水中运动，全速时停止了发动机，过了20秒种后艇 – 4 –
第一章绪论 的速度减至=3米/秒，确定发动机停止2分钟后艇的速度，假定水的阻力与艇的运 动速度成正比。 解：设艇的质量为m,速度为（代），由题设水对艇的阻力正比与速度，即-A,其 中入>0表比例系数，负号表示阻力与运动速度方向相反，注意到停止发动机后，艇仅 受阻力作用，故按牛顿第二定律，有 容易求得通解 v=ce- 根据题设条件：t=0时，v=0得c=5,第二个条件代入u=5e-会，再由初始条件 t=20时，v=1=3得k≈-0.0255.因此有特解u=5e-00256.将t=120秒代入上式 得v≈0.233米/秒。即发动机停止2分钟后，艇的速度减至0.233米/秒。 3.一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子8m,另一端离开钉子12m,分别在 以下两种情况下求链条滑下来所需要的时间： ()若不计钉子对链条所产生的摩擦力： (2)若摩擦力为1m长的链条的重量. 解设链条的线密度为kg/m,则链条的质量为20kg/m.又设在时刻t,链条的 端距离钉子x=x()m,则另一端距离钉子20-xm,当t=0时，x=12. (1)如果不计钉子对链条所产生的摩擦力，则在运动过程中，链条受力的大小 为x-(20-x)Pg,按牛顿第二定律，有 2-00-9 即得初值问题 -是=-9leo=12,0=0. 求得方程'-品r=-9的通解r=GeV备+ceV+10,再代入初始条件，得 -5-
第 一 章 绪 论 的速度减至 v1 = 3米/秒，确定发动机停止2分钟后艇的速度，假定水的阻力与艇的运 动速度成正比。 解 ：设艇的质量为m, 速度为v(t), 由题设水对艇的阻力正比与速度，即−λv,其 中λ > 0表比例系数，负号表示阻力与运动速度方向相反， 注意到停止发动机后，艇仅 受阻力作用，故按牛顿第二定律，有 m dv dt = −λv 容易求得通解 v = ce− λ m t 根据题设条件： t = 0时， v = 0得c = 5 ,第二个条件代入v = 5e − λ m ,再由初始条件 t = 20时，v = v1 = 3 得k ≈ −0.0255. 因此有特解v = 5e −0.0255 . 将t = 120秒代入上式 得v ≈ 0.233米/秒。即发动机停止2分钟后，艇的速度减至0.233米/秒。 3. 一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子8m, 另一端离开钉子12m，分别在 以下两种情况下求链条滑下来所需要的时间： (1) 若不计钉子对链条所产生的摩擦力； (2) 若摩擦力为1m长的链条的重量. 解 设链条的线密度为ρkg/m, 则链条的质量为20ρkg/m. 又设在时刻t, 链条的一 端距离钉子x = x(t) m, 则另一端距离钉子20 − x m, 当 t = 0 时， x = 12. (1) 如果不计钉子对链条所产生的摩擦力， 则在运动过程中， 链条受力的大小 为[x − (20 − x)]ρg, 按牛顿第二定律， 有 20ρ d 2x dt2 = [x − (20 − x)]ρg 即得初值问题 x 00 − g 10 x = −g, x|t=0 = 12, x0 |t=0 = 0. 求得方程x 00 − g 10 x = −g 的通解 x = c1e √ g 10 t + c2e √ − g 10 t + 10, 再代入初始条件， 得 – 5 –
第一章绪论 特解 x=eV需+evF0+10 取x=20,得 -(+2/( (2)若摩擦力为1m长的链条的重量为Pg,则在运动过程中，链条受力的大小为z一(20- 川pg-p9,按牛顿第二定律，有 2脚票-北-0-网-网 即得初值问题 7-0=小=12=0 21 求得初值问题的解为 -ev面+e副+ 取x=20,得 3 4.过曲线上每一点的切线同过该点的向径及y轴一起构成一个等腰三角形，求此 曲线上所满足的微分方程。 解：设所求曲线为y=(x),其上任一点（红，）的切线为 Y-=(X-x), 它交oy轴于点A(0,y-x).使三角形OAP为等腰三角形有三种可能： (1)lp=Apl.这时有 2+=+,即2=是 -6-
第 一 章 绪 论 特解 x = e √ g 10 t + e √ − g 10 t + 10 取x = 20, 得 t = r 10 g ln(5 + 2√ 6)(s) (2) 若摩擦力为1m长的链条的重量为ρg, 则在运动过程中，链条受力的大小为[x − (20 − x)]ρg − ρg, 按牛顿第二定律， 有 20ρ d 2x dt2 = [x − (20 − x)]ρg − ρg, 即得初值问题 x 00 − g 10 x = − 21 20 g, x|t=0 = 12, x0 |t=0 = 0. 求得初值问题的解为 x = 3 4 ¡ e √ g 10 t + e √ − g 10 t ¢ + 21 2 , 取x = 20, 得 t = r 10 g ln(9 + 4√ 22 3 )(s). 4. 过曲线上每一点的切线同过该点的向径及oy轴一起构成一个等腰三角形，求此 曲线上所满足的微分方程。 解 ：设所求曲线为y = y(x), 其上任一点(x, y)的切线为 Y − y = y 0 (X − x), 它交oy轴于点A(0, y − xy0 ). 使三角形OAP为等腰三角形有三种可能： (1) |op = Ap|. 这时有 x 2 + y 2 = x 2 + x 2 y 02 , 即 dy dx = ± y x . – 6 –