§1微分方程及其解的定义 第一章 F(K,y,y0)=0 1.D 应该掌握的基本内容 0 理解微分方程的基本概念：微分方程的定义，微分方程的解，通解特解，初 始条件，线性与非线性方程等概念 1包含自变量，未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）的等式称微分方程。 2微分方程中，必定含未知函数的导数的项，其中出现的未知函数导数 的最高阶数就称为该微分方程的阶数 3一般的阶F(x,y,y,ym)=0的初始条件为 ()=o,y(xo)=y1,.y(m-1(xo)=yn-1 1.7) 4若方程(1.1)中的左端为y及，"罗 d. 的一次有理整式，我们就称它为 dxm 阶线性方程式，它的一般形式可写成： a(x)y(+a(x)y(1+.+a(x)y=f(x) (1.6) ○根据实际尚题建立微分方程模型.伉何尚题及物理问顺) 结束 帮助 上一顶返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 应该掌握的基本内容 理解微分方程的基本概念:微分方程的定义,微分方程的解,通解特解,初 始条件,线性与非线性方程等概念. 根据实际问题建立微分方程模型.(几何问题及物理问题) §1 微分方程及其解的定义 1 包含自变量，未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）的等式称微分方程。 2 微分方程中，必定含未知函数的导数的项，其中出现的未知函数导数 的最高阶数就称为该微分方程的阶数 = ' ( ) 3 一般的n F x y y y 阶 ( , , ,., ) 0 n 的初始条件为 − = = = − ( 1) 0 0 0 1 0 1 ( ) , '( ) , ( ) (1.7) n y x y y x y y x yn ' ( ) ( , , ,., ) 0 1.1 n F x y y y = （ ） (1.1) ,. n n dy d y y dx dx n 4 若方程 中的左端为 及 的一 次有理整式,我们就称它为 阶线性方程式,它的一般形式可写成: ( ) ( 1) 0 1 ( ) ( ) . ( ) ( ) (1.6) n n n a x y a x y a x y f x − + + + = 第一章
§1微分方程及其解的定义 第二章 要掌握的基本内容：一阶常微分方程的解法 一般的一阶常微分方程式为 F(x,y,y)=0 (1.3) 或 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1.4) 或 =f(x,) (1.5) dx 结束 籍助2上一贡扳回下一页<2目录 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 ( , ) (1.5) dy f x y dx = 或 M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 (1.4) + = 或 ' F x y y ( , , ) 0 (1.3) = 一般的一阶常微分方程式为 §1 微分方程及其解的定义 第二章 要掌握的基本内容:一阶常微分方程的解法
复习 1.变量分离方程 d =f(x):g() 可化为变量分离方程的方程 ①齐次方程么=8中，解法：令y=w,则y=+w代入方程，方程化为变量分离方程 2.方程 dy ax+by+c, 解法： dx a2x+b2y+c2 ()C1=c2=0时方程为齐次方程 (im=么时，令=么=k,作变换a,x+D,y=,方程 2 a,b 可化为齐次方程 4x+by+C1=0 (i)若 2r 不金为零时，解方程组 dxyc:0 得唯一解x=a,y再玲 5=x-4,7=y-b方程可化为齐次方程 结束 帮助 返D
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 1.变量分离方程 复习 = ( ) ( ) dy f x g y dx 可化为变量分离方程的方程 （1 ( ) , ）齐次方程 = = + ，解法：令 则 代入方程，方程化为变量分离方程 dy y g y = xu y u xu dx x 2.方程 + + = + + 1 1 1 2 2 2 dy a x b y c ，解法： dx a x b y c ( ) 0 i c c 1 2 = = 时方程为齐次方程 = = = + = 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) , , 时，令 作变换 方程 可化为齐次方程 a b a b ii k a x b y u a b a b (iii)若 且 不全为零时,解方程组 1 1 2 2 a b a b 1 2 c ,c + + = + + = 1 1 1 2 2 2 0 0 a x b y c a x b y c 得唯一解 x = a, y = b , 再令 = x - a, = y - b方程可化为齐次方程
复习 3.一阶线性微分方程 =P(x)y+Q(x) dx P(x) 常数变易公式 y= Q(x)e dx+c y 4.Bernoulli方程 =P(x)y+Q(x)y” (2.27) dx 解法：令z=y,则方程化为线性方程 ●●6t。8。5。8.086g5e年年。9。·0年9。g·年0 dz =(1-n)P(x)z+(1-n)2(x) ww.wwwwwwwvwvwwwwwrrr 5.恰当方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy =0 aM aN ay ax 解为： [M(x,y)dx+N(x,y)dy =c 还可用凑微分法 结束 助 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 3. 一阶线性微分方程 复习 = + ( ) ( ) dy P x y x dx Q − = + ( ) ( ) P x dx Pdx 常数变易公式 y e x e dx c Q ( ) ( ) (2.27) dy n P x y Q x y dx = + 4.Bernoulli方程 , 1-n 解法：令z = y 则方程化为线性方程 (1 ) ( ) (1 ) ( ) dz n P x z n Q x dx = − + − 5. 恰当方程 + = = M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 M N y x 解为: + = 0 0 0 ( , ) ( , ) x y x y M x y dx N x y dy c 还可用凑微分法
复习 M(x,y)dx+N(x,y)dy =0 (2.28) 利用积分因子法求解方程 如果存在连续可微的函数化y)≠0，使方程 u(x,y)M(,y)dxtu(x,y)N,y)dy=0 ( 为恰当方程，则4（化）为(2.28)的一个积分因子. (2.28)有仅与x有关的积分因子的充分必要条件是 。6●0●0。●●●。●0●。●0●●●。0●。 M(x,y)-N(x,y)△ (x) N(x,y) L(x)=e p(x)d (2.28)有仅与有关的积分因子的充分必要条件是 M,(,y)-N.(, e(v) -M(x,y) (y)=e p() 结束 帮助 返回 贝
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 ( , ) ( , ) ( , ) M x y N x y y x N x y − Δ ( ) x 利用积分因子法求解方程 如果存在连续可微的函数μ(x,y)≠0,使方程 复习 μ(x,y)M(x,y)dx+μ(x,y)N(x,y)dy=0 (★) 为恰当方程，则μ(x,y)为(2.28)的一个积分因子. M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 (2.28) + = (2.28)有仅与x有关的积分因子的充分必要条件是 (2.28)有仅与y有关的积分因子的充分必要条件是 ( , ) ( , ) ( , ) M x y N x y y x M x y − − ( ) y ( ) ( ) y dy y e = = ( ) ( ) x dx x e