新疆大学：《常微分方程》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 线性微分方程组 §5.2 线性微分方程组的一般理论

线性微分方程组 §5.2.线性微分方程组的一般理论 5.2.1齐线性微分方程组 现在讨论线性微分方程组 x=A(t)x+f(t) (5.14) 的一般理论，主要是它的解的结构问题 如果f(t)专则(5.14)称为非齐线性的 如果f(),号则方程的形式为 x=(t)x (5.15) 现讨论(5.14)的通解结构问题， 一.齐次线性方程组 设A(在区间α≤是连续的. 定理2.如果u(利 是)5.15)的解，则它们的线性组合. cu(t)+炮是符.15)的解.这里 是常数，B 结束 帮助 返回

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 如果 f t( ) 0  ，则（  5.14）称为非齐线性的. §5.2. 线性微分方程组的一般理论 现在讨论线性微分方程组 ' x A t x f t = + ( ) ( ) （5.14） 的一般理论，主要是它的解的结构问题. 线性微分方程组 5.2.1 齐线性微分方程组 如果 f t( ) 0 ，则方程的形式为  ' x A t x = ( ) （5.15） 现讨论（5.14）的通解结构问题. 一. 齐次线性方程组 设 A t( ) 在区间 a t b   上是连续的. 定理2. 如果 和 是（5.15)的解，则它们的线性组合. 也是(5.15)的解.这里 是常数. u t( ) v t( )   u t v t ( ) ( ) +  

线性微分方程组 为了研究(5.15)的解的结构，下面引进向量函数序列线性 相关与线性无关的概念 设飞(t),是义在 止的≤仍向量函数： 如果存在不全为零的常数C1,Cn·使得 CX(t)+.+cnxn(t)=0在a≤t≤h恒成立 则称向量函x(),套()线曲相关，否则称 飞1(t),球t)上俄懂无关 结束 籍助2上一贡意下一页<2目录 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 为了研究（5.15）的解的结构，下面引进向量函数序列线性 相关与线性无关的概念. 设 是定义在 上的 个向量函数. 1 ( ),., ( ) n x t x t a t b   n 如果存在不全为零的常数 1 ,., . c cn 使得 1 1 c x t c x t ( ) . ( ) 0 + +  n n 在 a t b   上恒成立. 则称向量函 在 上线性相关,否则称 在 上线性无关. 1 ( ),., ( ) n x t x t [ , ] a b 1 ( ),., ( ) x t x t n [ , ] a b 线性微分方程组

存在唯一性定理的一般理论 例1.向量函数 1 0 x(t)= 】 在任何区间线性无关.(k>O) 解， .Cx(t)+.+Cnxn(t)≡0→c0+ct++ct=0 t∈[a,b] 由于1，t,.在茌何区间线性无关. ∴.c:≡0.(i=1,2,.) 故x(t),饿性无关 结束 帮助 返回

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 例1.向量函数 1 1 0 ( ) : 0 x t     =         2 0 ( ) : 0 t x t     =         2 3 0 ( ) : 0 t x t       =         4 0 ( ) : 0 k t x t       =         在任何区间线性无关. ( ) k o  解：∵ 1 1 c x t c x t ( ) . ( ) 0 + +  n n  0 1 . 0 k k c c t c t + + +  t a b [ , ] ∴ 0.( 1, 2,.) i c i  = 故 1 线性无关. ( ),., ( ) x t x t k 1, ,., k 由于 t t 在任何区间线性无关. 存在唯一性定理的一般理论

线性微分方程组的一般理论 cos" sin2t-1 X1= 在任何区间线性相关. 因为取c1=1,c2=}则 Cx1(t)+C2x2(t)= -0 例. 00:0 x1= 结束 露用 返回下而< 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 又 , 1 x = 2 cos 0 : 0  t           2 x = 2 sin 1 0 : 0   t −           在任何区间线性相关. 因为取 c c 1 2 = = 1, 1 ，则 1 1 2 2 0 0 ( ) ( ) 0 : 0 c x t c x t     + = =         例. 3 6 3 6 1 2 3 6 , 2 t t t t t t e e x e x e e e         = = −             在 (− + , 上线性无关 ) . 线性微分方程组的一般理论

线性微分方程组的一般理论 例 69 在（∞，+空麦性无关 证：.C火1+C2x2相对应纯量形式： C1e21=0,c2e2=0, -ce 2-cze-2 =0 两个向量对应分量成比例，所以它们线性相关. 上例说明 两个向量对应的分量线性相关，并不能推出向量 组线性相关 再引进向量函数的Wros行列式的概念： x11(t) X12(t) xin(t) x21(t) x22(t) x1(t)= x2n(t)） ,x2(t)= .xn(t)= : xm1(t) 、七n2(t) xn (t) 定义在a≤t≤正， 结束 帮助 返回

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 例. 2 2 1 2 1 0 0 , 1 1 1 t t x e x e − −         = =             − − 在 ( 上线性无关 ) . − + , 证：∵ c x c x 1 1 2 2 + = 相对应纯量形式 0 ： 2 2 2 2 1 2 1 2 0, 0, 0 t t t t c e c e c e c e − − − − = = − − = 两个向量对应分量成比例，所以它们线性相关. 上例说明 两个向量对应的分量线性相关,并不能推出向量 组线性相关. 再引进向量函数的 Wronsky 行列式的概念： 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ,., ( ) : : : ( ) ( ) ( ) n n n n n nn x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t                   = = =                   设 定义在 a t b  上. 线性微分方程组的一般理论