第二节 微分方程模型 对我国人口总数发展趋势的估计， 捕食者与被捕食者的生态问题 经典力学模型 数学摆（单摆） 求一曲线使其上任意一点的切线介于两坐标 轴之间的部分等于定长1。 ○本节重点与难点 结束 上面拔下一页2目录 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 第二节 微分方程模型 本节重点与难点 对我国人口总数发展趋势的估计. 求一曲线使其上任意一点的切线介于两坐标 轴之间的部分等于定长l 。 经典力学模型 捕食者与被捕食者的生态问题 数学摆(单摆)
§2微分方程模型 微分方程产生于三百多年前，它是数学理论（特别是积分学）联 系实际的重要渠道.在微积分发明以后，Newton力学第二定律的 数学表达式： 便是一个微分方程。许多物体运动规律只有微分方程才能表达出 来。20世纪以前，几何学，力学和物理学中的许多问题也只有通 过建立微分方程才能解释其规律。现在几乎在自然科学和工程技 术的每一部都有或多或少的微分方程问题。下面通过实例说明微 分方程是如何从物理学，力学和几何学等方面的问题引导出来的。 通过例子要求同学们掌握如何根据实际问题建立其数学模型.也就 是微分方程模型。 结束 帮助 返叵
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 便是一个微分方程。许多物体运动规律只有微分方程才能表达出 来。20世纪以前，几何学，力学和物理学中的许多问题也只有通 过建立微分方程才能解释其规律。现在几乎在自然科学和工程技 术的每一部都有或多或少的微分方程问题。下面通过实例说明微 分方程是如何从物理学，力学和几何学等方面的问题引导出来的。 通过例子要求同学们掌握如何根据实际问题建立其数学模型.也就 是微分方程模型。 微分方程产生于三百多年前，它是数学理论(特别是积分学)联 系实际的重要渠道.在微积分发明以后，Newton力学第二定律的 数学表达式: 2 2 d x m F dt = §2 微分方程模型
§2微分方程模型 例1.对我国人口总数发展趋势的估计. 人口问题是一个很复杂的生物学和社会学问题.用数学方法来 研究它，目前只是一个尝试.我们在这里介绍一个比较粗糙的数 学模型 令N(t)表示某一个国家在时间t的人口总数.严格的说，N(t)是 一个不连续的阶梯函数.但是一个人的增减与全体人数比较微 小，我们将把N(t)视为光滑的函数，这样就可应用微积分的方法 记r=(t,W)为人口增长率（出生率与死亡率之差）.由于在△t 时间内的平均增长率为 AN 其中△W为人口的增量，所以 △t.N △N dN r lim -0△t.N N dt 结束 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 例1.对我国人口总数发展趋势的估计. 人口问题是一个很复杂的生物学和社会学问题.用数学方法来 研究它，目前只是一个尝试.我们在这里介绍一个比较粗糙的数 学模型. ( ) , ( ) ( ) ( , ) N t t N t N t r r t N t N N t N = . ， ， 令 表示某一个国家在时间 的人口总数.严格的说 是 一个不连续的阶梯函数.但是一个人的增减与全体人数比较微 小,我们将把 视为光滑的函数,这样就可应用微积分的方法 记 为人口增长率(出生率与死亡率之差).由于在 时间内的平均增长率为 其中 为人口的增量 所以 0 1 lim t N dN r t N N dt → = = ， §2 微分方程模型
§2微分方程模型 即 dN =rN (1.8) dt 这就是人口总数N所满足的微分方程。最简单的模型是 假设r为常数k>0.于是容易求出初值问题： dN _=kN, (1.9) d N(to)=N。,(1.10) 的解为 N=N ek(-to) (1.11) 这表明人口是按指数曲线增长的，这就是马尔萨斯人口论的 根据.这一理论已被实践证明是错误的， 显然，人口的增长率是会随人口基数的增大而下降的.因此 人们又提出了一个新的模型：假设 r=a-bN, (1.12) 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 这表明人口是按指数曲线增长的，这就是马尔萨斯人口论的 根据.这一理论已被实践证明是错误的. 显然，人口的增长率是会随人口基数的增大而下降的.因此 人们又提出了一个新的模型:假设 0 0 (1.9) ( ) (1.10) dN kN dt N t N = = ， ， 0 ( ) 0 (1.11) k t t N N e − = r a bN = − ， (1.12) (1.8) dN rN dt = 0 这就是人口总数 所满足的微分方程。 最简单的模型是 假设 为常数 .于是容易求出初值问题: N r k 即 的解为 §2 微分方程模型
§2微分方程模型 其中正的常数a和b称为生命系数.一些生态学家测得的 自然值为0.029，而b的值则取决于各国的社会经济条件， 在这一假设下，方程(1.8)成为 、 =(a-bN)N. (1.13) dt 这是一个变量分离的方程.初值问题(1.13)+(1.10)的解为： 。09.00055B590g56909g99g9”5◆09.99,0909609家 N= aN) (1.14) a-bNo+aN ea() 据文献记载，美国和法国增用这个公式预报过人口的变化， 结果是相当符合实际的；而比利时则不堪符合，只是因为当时比 利时向刚果进行着大量移民至于这个公式是否适应于我国，还 有特于实践的检验， 结束 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 据文献记载，美国和法国增用这个公式预报过人口的变化， 结果是相当符合实际的;而比利时则不堪符合，只是因为当时比 利时向刚果进行着大量移民.至于这个公式 是否适应于我国，还 有特于实践的检验. = − ( ) . (1.13) dN a bN N dt − − = − + 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 (1.14) a t t a t t aN e N a bN aN e 0.029 a b a b 其中正的常数 和 称为生命系数.一些生态学家测得 的 自然值为 ,而 的值则取决于各国的社会经济条件. 在这一假设下，方程(1.8)成为 这是一个变量分离的方程.初值问题(1.13)+(1.10)的解为： §2 微分方程模型