§2.3恰当方程与积分因子 讲授内容： :恰当方程极其解法；积分因子概念利用积分因子求解一解 微分方程。 教学重点： 恰当方程的判定及求解方法，积分因子的概念， 1.恰当方程（全微分方程） 例2.15 例2.16 2.积分因子 例2.17 例2.18 例2.19 例2.20 例2.21 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 §2.3 恰当方程与积分因子 1.恰当方程(全微分方程) 例2.15 2.积分因子 例2.16 例2.17 例2.18 例2.19 例2.20 例2.21 :恰当方程极其解法;积分因子概念利用积分因子求解一解 微分方程. 恰当方程的判定及求解方法,积分因子的概念. 讲授内容: 教学重点:
§2.3恰当方程与积分因子 1.恰当方程（全微分方程） 考虑微分形式的一阶方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy =0 (2.28) 其中M,N具有一阶连续的偏导数，这样的形式有时更便于寻找它 的通解.如果上式左端恰好是某个二元函数 u(x的全微分即 du(x,y)=M(x,y)d+N(x,y)dy (2.29) 则称(2.28)为全微分（恰当）方程. 例如 xdx+ydy =0 就是一个恰当方程.因为它的左端x+y恰好是二元函数 4(x,)=(的全徽分又如 yoc -xay =0 +J>2 结束 上一页返回下页<2 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 1.恰当方程(全微分方程) 考虑微分形式的一阶方程 M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 (2.28) + = 其中M,N具有一阶连续的偏导数,这样的形式有时更便于寻找它 的通解.如果上式左端恰好是某个二元函数 u x y ( , ) 的全微分即 du x y M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) ( , ) (2.29) = + 则称(2.28)为全微分(恰当)方程. xdx ydy + = 0 例如 §2.3 恰当方程与积分因子 就是一个恰当方程 .因为它的左端 xdx+ydy 恰好是二元函数 的全微分.又如 1 2 2 ( , ) ( ) 2 u x y x y = + 2 2 0 ydx xdy x y − = +
§2.3恰当方程与积分因子 M(x,y)dx+N(x,y)dy =0 (2.28) du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy (2.29) 也是一个恰当方程因为它的左端为 4(x,)=的堆微分. 如果(2.28)是恰当方程，则由定义存在可微的二元函数(x使嫩 得(2.29)成立.从而由(2.28)知 du(x,y)≡0 于是 u(x,y)=c 为(2.28)的解这里c为任意常数 那么如何求解2.28)呢？下面就以下三个问题进行讨论： 1.如何判断(2.28)是否为全微分方程； 2.若(2.28)为全微分方程，如何求出二元函数(x,y)； 3.若(2.28)不是全微分方程，有何办法将它转变成全微分方程并 求出其通解。 结束 帮助 返叵
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 §2.3 恰当方程与积分因子 也是一个恰当方程.因为它的左端为 ( , ) 的全微分. x u x y arctg y = 如果(2.28)是恰当方程,则由定义存在可微的二元函数 使 得(2.29)成立.从而由(2.28)知 u x y ( , ) du x y ( , ) 0 于是 u x y c ( , ) = M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 (2.28) + = du x y M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) ( , ) (2.29) = + 为(2.28)的解.这里c 为任意常数. 那么如何求解(2.28)呢？下面就以下三个问题进行讨论: 1. 如何判断(2.28)是否为全微分方程; 2. 若(2.28)为全微分方程，如何求出二元函数 u x y ( , ) ； 3. 若(2.28)不是全微分方程，有何办法将它转变成全微分方程并 求出其通解
$2.3恰当方程与积分因子 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (2.28) 设(2.28)为恰当方程，则存在二元函数(x,y)使得 du=M(x,y)dx+N(x,y)dy 另一方面， du(x,y)= 所以 Ox ay ou Ox =M(x,y) Ou=N(x,y) oy 于是 Ou aM a'u aN axay ay oyax Ox 由于 OM X 连续，) 所以 8u 8u ax’ axay 因此 ayax aM aN (2.30) ay Ox 结束 目录 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 设(2.28)为恰当方程，则存在二元函数 u x y ( , ) 使得 §2.3 恰当方程与积分因子 另一方面， ( , ) u u du x y dx dy x y = + M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 (2.28) + = du M x y dx N x y dy = + ( , ) ( , ) ( , ) , u M x y x = ( , ) u N x y y = 所以 于是 2 u M x y y = ， 2 u N y x x = 由于 , 连续，所以 M N x x = 2 2 , u u x y y x 因此 (2.30) M N y x =
§2.3恰当方程与积分因子 aM aN M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (2.28) (2.30) ay ax (2.30)是(2.28)为恰当方程的必要条件 下面证明，如果(2.30)成立，则(2.28)为恰当方程， 我们取函数(x,y)如下 u(x,y)=M(x,y)dx+o(y) (2.31) 其中当进行积分是，把y看成参数，而p(为任一个y的可微函数 实际上由0=M将看成参数解此方程，得) u(c,y)=「M(x,y)dc+c 当c取为y的可微函数（时，仍然是 的解 为了使函数（的尘微分等于(2.28）的左端，还应当要求函数 满足u(x,y) 即要求p(满足 结束 帮助 返回
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 (2.30)是(2.28)为恰当方程的必要条件. 下面证明，如果(2.30)成立，则(2.28)为恰当方程. 我们取函数 u x y ( , ) 如下 u x y M x y dx y ( , ) ( , ) ( ) (2.31) = + 其中当进行积分是，把 y 看成参数，而 ( y 为任一个 ) y 的可微函数 u x y M x y dx c ( , ) ( , ) = + ( , ) u M x y x = (实际上由 ,将 y 看成参数解此方程，得) ( y) ( , ) u M x y x = 当 c取为y的可微函数 时，仍然是 的解) §2.3 恰当方程与积分因子 = (2.30) M N y x M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 (2.28) + = 为了使函数 的全微分等于(2.28)的左端,还应当要求函数 满足 u x y ( , ) u x y ( , ) ( ) ( , ) ( , ) u d y M x y dx N x y y y dy = + = 即要求( ) 满足y