定理(第一充分条件) (1)如果x∈(x0-8,x0),有f(x)>0;而x∈(x0,x+8), 有f(x)<0,则f(x)在x处取得极大值 (2)如果x∈(x0-8,x0),有f(x)<0;而x∈(x,x0+6 有f(x)>0,则f(x)在x处取得极小值 (3)如果当x∈(x0-6,x0)及x∈(x0,x0+δ)时,f(x)符 号相同,则f(x)在x处无极值 定理(第二充分条件)设f(x)在x0处具有二阶导数, 且f(x0)=0,f(x0)≠0,那末 (1)当∫(x0)<0时,函数f(x)在x处取得极大值 (2)当∫(x0)>0时,函数f(x)在x处取得极小值
(1)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + , 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在 0 x 处取得极大值. (2)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在x0处取得极小值. (3)如果当 ( , ) x x0 − x0 及 ( , ) x x0 x0 + 时, ( ) ' f x 符 号相同,则 f ( x)在 0 x 处无极值. 定理(第一充分条件) 设 f (x)在 0 x 处具有二阶导数, 且 ( 0 ) 0 ' f x = , ( 0 ) 0 '' f x , 那末 (1)当 ( 0 ) 0 '' f x 时, 函数 f (x)在x0 处取得极大值; (2)当 ( 0 ) 0 '' f x 时, 函数 f (x)在x0 处取得极小值. 定理(第二充分条件)
求极值的步骤: (1)求导数f(x); (2)求驻点,即方程∫(x)=0的根; (3)检查∫(x)在驻点左右的正负号或∫"(x)在 该点的符号,判断极值点; (4)求极值
求极值的步骤: (1) 求导数 f (x); (2) 求驻点，即方程 f (x) = 0的根; , ; (3) ( ) ( ) 该点的符号 判断极值点 检查 f x 在驻点左右的正负号或 f x 在 (4) 求极值
(3)最大值、最小值问题 步骤: 1求驻点和不可导点; 2求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值(最大值或最小值)
步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值) (3) 最大值、最小值问题
实际问题求最值应注意: 1)建立目标函数; 2)求最值;若目标函数只有唯一驻点,则该点的 函数值即为所求的最大(或最小)值 (4)曲线的凹凸与拐点 定义设f(x)在区间I上连续如果对I上任意 两点x,x2,恒有f(+2)<(x)+fx) 那末称f(x)在I上的图形是(向上)巴的
实际问题求最值应注意: 1)建立目标函数; 2)求最值; 函数值即为所求的最大（或最小）值． 若目标函数只有唯一驻点，则该点的 (4) 曲线的凹凸与拐点 定义 ( ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 , , ( ( ) , 1 2 1 2 1 2 那末称 在 上的图形是（向上）凹的 两 点 恒 有 设 在区间 上连续 如果对 上任意 f x I x x f x f x x x f f x I I + +
如果对区间上任意两点x1,x2,恒有 fo +2 f(x1)+f(x2) 2 那末称f(x)在I上的图形是(向上)的 如果f(x)在a,b内连续,且在(a,b内的图形是凹 (或凸的,那末称f(x)在a,b内的图形是叫或凸)的;
( ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 ( , , 1 2 1 2 1 2 那末称 在 上的图形是（向上）凸的 如果对区间 上任意两点 恒 有 f x I x x f x f x f I x x + + ( ) , ( ) [ , ] ( ) ; ( ) [ , ] , ( , ) 或凸 的 那末称 在 内的图形是凹 或凸 的 如果 在 内连续 且在 内的图形是凹 f x a b f x a b a b