定理1如果f(x)在(a,b上连续,在(a,b)内具有二阶 导数,若在(a,b)内 (1)f"(x)>0,则f(x)在a,b上的图形是凹的; (2)f"(x)<0,则f(x)在a,b上的图形是凸的 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点 定理2如果f(x)在(x-8,x0+δ)内存在二阶导 数,则点(xn,f(x1)是拐点的必要条件是 f(x0)=0
定理1 (2) ( ) 0, ( ) [ , ] ; (1) ( ) 0, ( ) [ , ] ; , ( , ) ( ) [ , ] , ( , ) 则 在 上的图形是凸的 则 在 上的图形是凹的 导数 若在 内 如果 在 上连续 在 内具有二阶 f x f x a b f x f x a b a b f x a b a b 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 定理 2 如果 f (x)在( , ) x0 − x0 + 内存在二阶导 数 , 则 点 ( , ( )) 0 x0 x f 是 拐 点 的 必 要 条 件 是 ( 0 ) 0 " f x =
方法1:设函数f(x)在x的邻域内二阶可导, 且f”(x)=0. (1)x0两近旁(x)变号,点(x0,f(x0)即为拐点 (2)x两近旁∫(x)不变号,点(x0,f(x0)不是拐点 方法2:设函数f(x)在x的邻域内三阶可导 且f"(x)=0,而f"(x0)≠0,那末(x0,f(x0)是 曲线v=∫(x)拐点
方法1: ( ) 0, ( ) , 0 0 f x = f x x 且 设函数 在 的邻域内二阶可导 (1) ( ) , ( , ( )) ; x0两近旁f x 变号 点 x0 f x0 即为拐点 (2) ( ) , ( , ( )) . x0两近旁f x 不变号 点 x0 f x0 不是拐点 方法2: ( ) . ( ) 0, ( ) 0, ( , ( )) ( ) , 0 0 0 0 0 曲 线 的拐点 且 而 那 末 是 设函数 在 的邻域内三阶可导 y f x f x f x x f x f x x = =