5、泰勒中值定理 泰勒( Taylor)中值定理如果函数f(x)在含有x0 的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则 当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0)的 个n次多项式与一个余项Rn(x)之和: f(x)=f(x)+f(x0)(x-)+”((x-+)2 (n)(x0(x-10)+ R,(x) (n+1) 其中Rn(x)= (号) (x-x0)(在x0与x之间) (n+1)
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含有 0 x 的某个开区间(a,b)内具有直到(n + 1)阶的导数,则 当x在(a,b)内 时, f ( x)可以表示为( ) x − x0 的 一 个n次多项式与一个余项R (x) n 之和: ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − = + − + 5、泰勒中值定理 ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) 其中 x x 在 x 与 x 之间 n f R x n n n + + − + =
常用函数的麦克劳林公式 2n+1 xx 2n+2 sIn = x +0(x 3!5! (2n+1) 2 cosr=l.t 2 2!4!6 +…+(-1)(2mo(x20) n+1 In(1+x)=x n+1 十 十 +0(x 23 n+1 =1+x+x2+…+x+0(x") 1+x)"=1+mx+ m(m-1)2 2! m(m-1)…(m-n+1) r+o(x
常用函数的麦克劳林公式 ( ) (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 2 2 3 5 2 1 + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x ( ) (2 )! ( 1) 2! 4! 6! cos 1 2 2 4 6 2 n n n o x n x x x x x = − + − ++ − + ( ) 1 ( 1) 2 3 ln(1 ) 1 2 3 1 + + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x 1 ( ) 1 1 2 n n x x x o x x = + + + + + − ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 2 n n m x o x n m m m n x m m x m x + − − + + + − + = + +
6、导数的应用 (1)函数单调性的判定法 定理设函数y=f(x)在a,b上连续,在a,b内 可导 1如果在(a,b)内f(x)>0,那末函数y=f(x)在 Ia,b上单调增加; 2如果在(a,b内∫(x)<0,那末函数=f(x)在 a,b上单调减少
6、导数的应用 定理 [ , ] . 2 ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] 1 ( , ) ( ) 0 ( ) . ( ) [ , ] ( , ) 0 0 上单调减少 如果在 内 ，那末函数 在 上单调增加； 如果在 内 ，那末函数 在 可 导 设函数 在 上连续，在 内 a b a b f x y f x a b a b f x y f x y f x a b a b = = = (1) 函数单调性的判定法
(2)函数的极值及其求法 定义设函数f(x)在区间(a,b内有定义,x是(a,b内 的一个点, 如果存在着点x的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x除了点x外,f(x)<f(x)均成立,就称 f(x0)是函数f(x)的一个极大值; 如果存在着点x的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x外,f(x)>f(x0)均成立,就称 f(x0)是函数f(x)的一个极小值
( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , , ( ) ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是函数 的一个极小值 任何点 除了点 外 均成立 就称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 是函数 的一个极大值 任何点 除了点 外 均成立 就称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 内 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x f x a b x a b 定义 (2) 函数的极值及其求法
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值 定理(必要条件)设f(x)在点x0处具有导数,且 在x处取得极值,那末必定f(x)=0 定义使导数为零的点(即方程f(x)=0的实根叫 做函数f(x)的驻点 驻点和不可导点统称为临界点
设 f (x)在 点x0 处具有导数,且 在x0处取得极值,那末必定 ( 0 ) 0 ' f x = . 定理(必要条件) 定义 ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫 f x f x = 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为临界点