第一章度与不动点 判定各种非线性方程的可解性,一直是非线性分析的主要课 题之一早在经典分析中,人们就发现在一定条件下,方程的解的 某种“代数个数”不因方程的连续变形而改变.这一被广泛注意到 的事实引发了各种“扰动方法”的研究,这类研究最终导向更深刻 的问题:能否用某种拓扑不变量来刻划方程解的“代数个数”?度理 论因此而诞生.如人们所预期的,这一辉煌的理论将方程可解性的 判定归结为一种拓扑不变量—度的计算 本章给出度理论的梗概及其某些应用 §1非紧测度 本章所述的度理论本质上依赖于一定的性条件,因此,必 须对点集与映射的紧性作某种较精细的、“定量的”考察. 给定ACX.如所熟知,A相对紧当且仅当A有由直径充分小 的集组成的有限看益如果将“直径充分小”换成“直径充分接近于 a”而数a≥0需要有一定选择余地,那么就得到由a量度的放 寬了的“紧性”概念.准确地说,我们称 a(A)Ainf{>0:3A1,…,A.CX,AcbA1, diana;≤8} (1) 为A的非紧测度.实际上,a(A)食度了“A对紧集的离”:a(A) 食小,A食按近于;A相对紧→a(A)=0,若A无界,则约定 a(A)=∞. 11.1命题非紧测度a()有以下性质:(i)a(A)<P→存 在有限分解A=UA;: dianA<P.(i)ACB→a(A)≤a(B); a(UA)=maxa(A).(i)a(λA)=1A1a(A);a∑;A)≤
(Ai.(iv)a(A)=a(coA) 证(i)~(i)的证明是直接的.对于(iv)只需证a(coA)≤ a(A),可设a△ diana<∞.必定 diamcoa=8,否则有x,y∈coA: x-y|>δ,于是AqB(x),因而彐z∈A\B(x),这推出x∈coA CB;(z),与z∈B(x)矛盾,任给A的覆盖{A1:1≤i≤n},今证 a(coA)≤ maxdiam a,可设A凸(否则以coA1代A1),且只需证 a(co(UA;))≤maxa(A).不妨设∪ACB1(0):r>0,n=2.VE> 0,取分点0=t<1<…<L=1,使tt:<e(1≤j≤m)约定t =1-(本书概如此),则 co(A1 U A2)CU, (5; A1 +t' Az)+ Br(O) 这推出a(co(A1UA2))≤max{a(A1),a(A2)}+4re令e↓0得所 要证 如所熟知,若{A}是X中非空闭集的降列且damA→0,则 ∩A,≠必.下面是这一结果的推广 1.12定骤若!A}是X中非空闭集的降列(即AA n+1) a(An)→0,则A仝∩A是非空緊集 证因显然a(A)=0,故只需证A≠,任取x∈A,令Bn {xk:k≥n},则a(B1)=a(B2)≤a(A),故a(B1)=0,因此{xn}有收 敛子列,其极限必属于A. 非紫测度概念的有效应用,通常依赖于一定函数空间中点集 的非紧测度的计算或估计对此缺少系统的方法,问题的难度因空 间而异.对于连续函数空间,已有一些较好的结果 以下设T是一紧 Hausdorff空间,在C(T,X)中采用sup范 数·.|a(本书中未加声明时概如此).任给ACC(T,X),约定 A(t)={x(t):x∈A},A(T)=∪A(t) 1.13定义设AcC(T,X)若对每个t∈T关于x∈A 致地有limx(s)x(t)(即y>0,存在t的邻域V,￥s∈V,x∈ A:|x(s)-x(t)|<e),则说A等度连续.若g:T×D→Y,DCx
{y·,x):x∈D}等度连续,则说(·,x)关于x∈D一致地连续 1.14定理设ACC(T,x),则a(A(T))≤2a(A);当A等 度连续时t+a(A())连续,且 (A)= maxa(A(t))=a(A(T)) (2) 证￥ε>0,取分解A=U1A1;使 diana;<a(A)+s;取x∈ A由x连续与T紧可得分解T=UT与∈T,使|x(t) (t)1<E(∈T1≤瓜m,1≤还n).易验知A(T)C{x(t):1 n,1≤j≤m}+B(0,a(A)十2e),由此推出a(A(T)≤2a(A)+ 4E.令E↓0得a(A(T)≤2a(A) 下面设A等度连续令r=sup1x()-x(z)|,则A(x)CA(t) B(0).据此易见ta(A())连续,因此存在p=maxa(A(t) ε>0,由A等度连续有分解T=∪rT,与t,∈T,使 x()-x(t)<ε(x∈A,t∈T,1≤j≤m).因a(UA(t)≤,故 有MCX(1≤k≤q),使UA(t)=UM,damM4<H+E.任给K k1,…,km}{1,…,q},令A={x∈A:x(t)∈Mk(1≤jm)}, 则 dianA≤+3e,A=∪Ax.于是a(A)≤H+3E,令E0得a(A) ≤p.显然≤a(A(T)).设A依上段,则A(T)cUA1(t)+ B(0),这推出 a(A(T))≤ maxdiamA(t;)+28≤aA)+3e 令E↓0得a(A(T))≤a(A),于是(2)式得证. 由1.1.4直接推出:若A等度连续,则A相对紧兮→yt∈T: A(t)相对紧.因此可以说,1.].4是著名的 Arzela-ascoli定理 [75;1.35]的推广 将1.14用于A={y(·,x):x∈D}得出: 11.5推论设DCX,9:T×D→Y,g·,x)关于x∈D一致 地连续,则a(g(T×D))=maxa(yt,D)) 以下设(T,P是一测度空间在 Lebesgue空间L(T,X)中解 3
决类似于1.1.4的问题是更困难的.下面给出几个较简单的结果 记S d ∈A 1.1.6命题设AT<∞,ACD(T,X)有界,则a(SA)≤ ·a(A(T)) 由1.1.1(iv),只要证 S,CAT cOA(T),可设pT>0.取 定x∈A,今证()-4xdk∈coA(T).Vc>0,取可数值函数y Sax, u(T\To)=0,To=Ue, Ix(t)-y(r)|<e(V t T).取δ∈(0,(F)/2)使当SCT,AS<δ时|y|d<E. 令Q=U,z=E14:x,设(TQ)<min{b,pP/2},则 lyde <eut. 敢t1∈e;,则(风) (t1)P2∈coA(T),而 x日 ldu+ At d d -|r xIda+ 1a-∑z( Cur)2 (|xl1+ET)+ <E(3+Ix,+ epT 由此得出(T)1xda∈coA( 任给ACK,称 R(A)Ainf{a>0:3x1,x2…,xn∈X,AcUB2(x:)}(3) 为A的“球非紧测崖.B具有类似于a的性质,且 R(A)≤a(A)≤2(A 1】7引還设K=8pan{a1,a },X={an:n≥1},A xnin≥1}CX则(A)= lim limd(xm,Xn) 4
明是直接的 1.18定理( Heinz,1983[68])设A={x:n≥1}C(T, X)一致可积,即彐g∈D(T),n≥1:{x()≤g(t)则 a(SA)≤2R(A()d,d记d(t) 证因每个x几乎可分值[75:3.22}不妨设X可分,令X an;n≥1},X,=span{(a1,a2,…,a,},用1.1.7及Lev定理与 Fatou定理得 a(S)<2R(SA)=2 lim mdix,dt, X ≤2 lim lm d(x-(),X)d 2 lim limd(ra( ),X.de β(A()d §2集压缩映射 给定F∈CD,Y),DCX.熟知 LipF▲inf>0:{Fx-Fy|≤blx-y|(Vx,y∈D)}(1) 刻划了F的“度量压缩性F是 Lipschitz映射(本书中简写作“F 为Iip”)<ipF<∞;F是非扩张映射LpF≤1F是压缩映 射心→LipF<1.关于压缩映射的以下不动点定理是熟知的: I.2.1定理( Banach)若F:D→D,DCX闭,LiF<1,则F 有唯一不动点x∈D,即Fx=x. 鉴于1.2.1在现代分析中的巨大价值,出现了放寞条件以扩 充其应用的种种尝试.最富有启发性的推广是以所谓集压缩映射 代锋压缩映射.仿照(1),定义一个刻划F的“集压编性”的量 a(F)e inf(k>0: a(FA)s ka(A)(y A CD) 称a(F)为F的“非紧测皮”.与前述的“ Lipschitz概念”相对应,约 5