第八章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念 知识要点与考点 1.区域等概念 邻域U(P,8)={P|PP|<8},内点,边界点,开集,(开)区 域闭区域,边界点,有界点集,有界(开或闭)域,n维空间{(x1,x2, …,xn)},它的点及坐标x,n维空间中两点P(x1,x2,…,xn)与Q (y,y,…y)间的距离 y2-dta 等简单概念(叙述略,见教材) 2.多元函数的概念 二元、三元函数的定义(略),它们的定义域.n≥2时,n元函 数统称为多元函数可视为点函数,记为 f(P)=f( 为简单起见,常以二元函数作代表进行讨论,相应的结论可推广到 更多元的函数中去 二元函数的图形在空问常用曲面表示 3多元函数的极限【考点】 定义简述为E>0.彐>0,当0<|PP )2<δ时,都有 f(x,y)-A|<
记为 limf(x, y) lim f(r, y)=A (x…y)→(x0+y 或 f(x,y)→A(P PP 此种极限称为(二)重极限此外还有累次极限 lim limf(r, y)5 lim limf(r, y) 累次极限是逐次对各变量取极限,它与重极限既有联系又有区别, 不要将二者混肴 通常说的多元函数的极限,是指重极限而言,它有与一元函数 类似的一些运算法则 4.多元函数的连续性【考点】 定义简述为 inf(x,y)=f(xo,y)→f(x,y)∈C(x0,y xy)→(xo% 不连续点称为间断点 在有界闭区域上连续的多元函数也有最大最小值定理、介值 定理等性质.一切多元初等函数在其定义区域上都是连续的 习趣8-1解答 1.已知函数f(x,y)= 试求f(tx,ty) 解【只须将t,分别代换x与y】 f(tx, ty)=(tr)2+(ty)2-(tr)(ty)tan t2(x2+y2-xytan )=tf(r,y) 注:这时称f(x,y)为二次齐次函数.一般地,若 f(tx, ty)=tf(I, y), 则称f(x,y)为k次齐次函数,当k=0时,即有 )=f(x,y) 则为零次齐次函数,又简称为齐次函数
2试证函数F(x,y)=lnx·lny满足关系式 FO u)+ F(r, v)+F(y, u)+F(y, v) 证明【须具体演算验证之.】 左式=1n(xy)ln(u (n x+in y)(In u+In u) In zln u+In zln v+In yin u+ln yIn v =F(x,a)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v)=右式 3.已知函数f(u,v,u)="++",试求f(x+y,x-y,xy) mt f(r+y,r-y, ry)=(x+y)y+(xy)x+9)+(r-y (xty)y+(ry) 4求下列函数的定义域: (1)z=ln(y2-2x+1) (2)x= (4)z=ln(y-x)+ R>r>0) x2+atx (6)=arccos 解【与一元函数求定义域类似,可由解不等式或不等式组确 定多元函数的定义域】 (1)由y2-2x+1>0→y2>2x-1,定义域为 D={(x,y) 若要画出定义域,可先作其边界的图形.此题区域的边界是开口向 右的抛物线:x=2-,它将平面区域分为左、右两部分,由x< 2或y>2x-1知,所求区城位于边界抛物线的左方(图者想 像图形或自绘草图验证.下同.应注意:画图时,不等式带等号的
边界要画实线,否则画虚线) (2)D={(x,y)|x+y>0,x-y>0 作出两条直线y=士x,D位于直线y=x(因y<x)的下方, 且位于y=-x(因y>-x)的上方,故区域D位于第一、四象限为 y=士x所界的角形区域 (3)由{y≥0, ≥0,x≥0 D=(x,y)|x≥0,x2≥y≥0} D为位于第一象限且位于抛物线y=x2下方(因y≤x2)的区 域 (4)由x≥0, x2+y2<1, 1-x2-y2>0 ={(x,y)y>x≥0,x2+y2<1} D为位于第一象限、在直线y=x上方、且在单位圆内的扇形 (八分之一的单位圆扇形) R2-x2 (5)由 x2+y2+z2-r2>0 <x2+y2+x2≤R2 定义域V=(x,y,z)|r2<x2+y2+x2≤R2} 在空间它是以原点为球心的空心球,不包括内边界,但包括外边 界 2+y2≠0, (x,y)≠(0,0), 6)由 z2≤x2+y2 V={(x,y,z)|z2≤x2+y2,(x,y)≠(0,0) 它是位于锥面z=士√x2+y2的外部且不含原点的空间区域 5.求下列各极限: m2=+y (2lim √x2+
(3)lim2-√y+4 s(4)lim √xy+1 (5)lim sin (ry) (6liml-e coS:(r 解【求多元函数极限的常用方法有:利用四则运算法则与连 续性,由变量代换化为一元函数求极限,利用初等变形,利用两边 夹法则与无穷小性质,等等.】 (1)由多元初等函数的连续性,知 li: 0+1 D lim v 1+0~1n2 (3)分子、分母同乘以共轭因式2+√xy+4,去掉分母中的致 零因子,得 原式=im-4-(xy+4) lim 8xy(2+√xy+4):82+√xy+4 (4)原式=tin(√xy+1+1) (xy+1)-1 limn(√xy+1+1)=2. (5)化为能利用一元函数极限公式的形式 lim sin(y) lir sin(xy) t=xy;sint,imx=1·2=2 lin t 6)变形化为能利用一元函数极限公式的形式 1-cos (r2+ 2sin? tya E im y