多维随机变量的数字特征 21.2.20 注1P=0仅说明,之间没有线性关系,但 可能有其他非线性关系 例3.3.10 注2若二维随机变量相互独立,则 与不相关,即有Pn=0 逆不真由n=0不能得到与相互独立 例3.3.11例33.12
多维随机变量的数字特征 电子科技大学 21.2.20 注1 仅说明ξ, η之间没有线性关系，但 可能有其他非线性关系. = 0 例3.3.10 注2 若二维随机变量ξ与η 相互独立，则ξ 与η 不相关，即有 . = 0 逆不真 由 = 0 不能得到ξ 与η 相互独立. 例3.3.11 例3.3.12
多维随机变量的数字特征 21.2.20 四n雄随机变量的物方差矩阵 定义3.3.1设n维随机变量(21,k52,5m)的协 方差 bi=cov(si,5i) 均存在,称矩阵∑=(b;)为(5,252…, 的协方差矩阵 11 2 n ∑ 22 n n2 n
多维随机变量的数字特征 电子科技大学 21.2.20 四.n维随机变量的协方差矩阵 定义3.3.1 设n 维随机变量(ξ1 , ξ2 ,…, ξn ) 的协 方差 ( ) 均存在 = bij , 称矩阵 为(ξ1 , ξ2 ,…, ξn ) 的协方差矩阵. bij = Cov(ξi , ξj ) = n n nn n n b b b b b b b b b ... . . ... . ... ... 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1
多维随机变量的数字特征 21.2.20 性质3.3.1协方差矩阵的元素满足 Dbk=D(5k,k=1,2,…, 2)b.=b j i,j=1,2,,n; 对称矩阵 3b2≤bb 方 i,j=1,2,…,n 证 Dbk=E{k-E(}=D(k),k=1,,,m; 2)b;=E5-E(5川5-E(5 =E5;-E(5)9;-E(5)}=bn 9-
多维随机变量的数字特征 电子科技大学 21.2.20 性质3.3.1 协方差矩阵的元素满足 1 b D( ), k 1,2,...,n; ） kk = k = 2 b b , i, j 1,2,...,n; ） i j = j i = 3 bi j bi i bj j , i, j 1,2,...,n 2 ） = 对称矩阵 证 1 {[ ( )] } ( ), 1,2,..., ; 2 ）bk k = E k − E k = D k k = n , 1,2, . {[ ( )][ ( )]} , 2 {[ ( )][ ( )]} i j n E E E b b E E E i j i j j i i j i j i j = = − − = = − − ）
多维随机变量的数字特征 21.2.20 3)根据R积分的施瓦兹不等式 +o+0 L-E(SIx-E(SdF(x,,,x l +P+0 ≤ I-e(si)rdF( i 9 + P+oo x;-E(5,)F(x;,x) Ix -E(5), dF(x, .x; E(5 )'dF(x
多维随机变量的数字特征 电子科技大学 21.2.20 3) 根据R-S积分的施瓦兹不等式 2 2 { [ ( )][ ( )] ( , )]} bi j = xi − E i xj − E j dF xi xj + − + − [ ( )] ( , ) [ ( )] ( , ) 2 2 j j i j i i i j x E dF x x x E dF x x + − + − + − + − − − , [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) 2 2 i i j j i i i j j j b b x E dF x x E dF x = = − − + − + −
多维随机变量的数字特征 21.2.20 性质3.3.2协方差矩阵是非负定矩阵,即 对任意实数t,(i=1,2,n)有 7"ET=∑∑b1k20 12 其中∑ 2n nn 19
多维随机变量的数字特征 电子科技大学 21.2.20 性质3.3.2 协方差矩阵是非负定矩阵，即 对任意实数 t i ,(i = 1,2, n) 有 0 1 1 = = = i k n i n k i k T T b t t = n n nn n n b b b b b b b b b ... . . ... . ... ... 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 其 中 = n t t T 1 ( , , ) 1 n T = t t