《线性代数》第四章 向量空间（4.1）正交矩阵与正交变换

Chapter 4(1

Chapter 4(1) 正交矩阵与正交变换

教学要求: 1.了解正交变换与正交矩阵的概念以及它们的 性质 K心D

教学要求： 1. 了解正交变换与正交矩阵的概念以及它们的 性质

A 正交矩阵的定义与性质 二正交变换 K心[

一 .正交矩阵的定义与性质 二.正交变换

正交矩阵的定义与性质 1.定义 若m阶方阵A满足AA=E,则称A为正交矩阵 2.性质 (1)A=士1;(:AA=E,AA=1,42=1 (2)A,B为正交矩阵,则AB也是正交矩阵; ((AB)(AB)=B(AA)B=BB=E. (3)A是正交矩阵分A1=A;(:AA=E) (4)A是正交矩阵台A也是正交矩阵; ((A)A=AA=AA=E

一 .正交矩阵的定义与性质 1. 定义 若n阶方阵 A满足 AA = E,则称 A为正交矩阵. 2. 性质 (1) A = 1; ( , 1, 1.) 2  AA = E AA = A = (2) A, B为正交矩阵,则AB也是正交矩阵; ((AB)(AB) = B(AA)B = BB = E.) (3) ; 1 A  A = A 是正交矩阵 − ( AA = E.) (4) A是正交矩阵  A也是正交矩阵; ( ( ) .) 1 A A = AA = AA = E − 

(5)方阵A是正交矩阵台 A的列行向量组是正交的单位向量组 Proof 12 n 设A= 21 22 n 102 1n2 n 11 21 则A= 1222 n2 n n nn

( ) . (5) 的列 行 向量组是正交的单位向量组 方阵 是正交矩阵 A A  Proof.             = n n nn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 设 ( , , , ) = 1 2  n              = n n nn n n a a a a a a a a a A        1 2 12 22 2 11 21 1 则                = n    2 1